八字模型：对顶角两侧的角之和相等

问题引入

两条直线相交，最容易想到的结论是对顶角相等。但中考里更常考的是另一个结论：

连接端点后，图中出现两个共顶点、形状像「八」字的三角形。这两个三角形里，除去对顶角之外的四个角，分成两组，每组之和居然相等。

它为什么成立？又能用来做什么？

动态观察

拖动 A 或 C 改变图形的形状，B、D 会自动保持在 A、C 关于点 O 的中心对称位置，保证 A、O、B 与 C、O、D 始终分别共线。

1. 拖动 A 改变直线 AB 的倾斜方向，观察红色三角形 △AOC 与蓝色三角形 △BOD。
2. 拖动 C 改变两条直线的夹角，看侧栏 ∠A + ∠C 与 ∠B + ∠D 两行读数。
3. 勾选侧栏的「显示对顶角 ∠AOC」，对照它与两组角之和的关系。

规律发现

无论怎么拖，两个三角形各自的「非对顶角」之和始终相等：

这里的 ∠A、∠C 是 △AOC 的两个角（即 ∠OAC、∠OCA），∠B、∠D 是 △BOD 的两个角（即 ∠OBD、∠ODB）。同一组的两个角必须来自同一个三角形，这是本模型最容易记错的地方。

原理解释

两个三角形各用一次内角和：

• 在 △AOC 中：∠A + ∠C + ∠AOC = 180°，所以 ∠A + ∠C = 180° − ∠AOC；
• 在 △BOD 中：∠B + ∠D + ∠BOD = 180°，所以 ∠B + ∠D = 180° − ∠BOD。

因为 ∠AOC 与 ∠BOD 是两条直线相交得到的对顶角，所以 ∠AOC = ∠BOD。代入上面两式，右边的被减数相同：

八字模型的本质是「两个三角形内角和相减」，而相减后能约掉，靠的正是对顶角相等。

例题应用

八字模型可以连续使用：把上一组八字求出的角代进下一组八字，就能把角一段一段「搬」到需要的位置。图中若含有两组以上八字，习惯上叫作双八字。

来看一道连续代换的题：

1. 第一组八字给出 ∠A + ∠C = ∠B + ∠D，用已知的三个角求出第四个角。
2. 把刚求出的角当作下一组八字的已知量，重复第 1 步。
3. 直到未知角与全部已知量接上，算出结果。

例如：已知 ∠A = 50°、∠C = 20°、∠B = 45°，则 ∠D = 50° + 20° − 45° = 25°；若这个 ∠D 又出现在第二组八字中，就继续往下代换。

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