三角形内心

问题引入

内心是三角形内切圆的圆心。凡是到角两边距离相等的点，都应联想到角平分线。

在三角形 ABC 中，画出三个内角的角平分线。这三条线会不会交于一点？如果交于一点，这个交点到三条边的距离有什么关系？

动态观察

拖动 A、B、C 改变三角形形状，观察三条角平分线是否始终经过绿色点 I。

1. 拖动 A、B、C 改变三角形形状。
2. 观察三条角平分线是否始终经过绿色点 I。
3. 比较 I 到三边的垂直距离。

侧栏的「三角形类型约束」可以再把三角形锁成等腰、直角或等边，用来检验结论在特殊三角形中同样成立。三种约束互斥：勾选「等边三角形」会自动取消另外两项，勾选「等腰」或「直角」则会取消等边。

规律发现

无论怎么拖，三条角平分线都交于同一点 I，而且侧栏的三行距离 d(I, AB)、d(I, BC)、d(I, CA) 始终相等；内切圆半径 r 也一直等于这个公共距离。

原理解释

角平分线上的点到角的两边距离相等。三条角平分线的交点 I 同时到三边距离相等。

因此以 I 为圆心、这个公共距离为半径作圆，圆会同时与三边相切，这个圆就是三角形的内切圆。

1. 作三角形三个内角的角平分线。
2. 角平分线上的点到角两边距离相等。
3. 三条角平分线交于 I，因此 I 到三边距离相等。
4. 以 I 为圆心、公共距离为半径，就得到内切圆。

例题应用

已知 I 是 △ABC 的内心，且 d(I, AB) = 2.4。

1. 内心到三边距离相等，所以 d(I, BC) = d(I, AB) = 2.4。
2. 同理 d(I, CA) = 2.4。
3. 内切圆半径 r 就是这个公共距离，所以 r = 2.4。
4. 检验：把三角形锁成等边三角形，三行距离读数依然相同，r 始终等于其中任意一行。

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