问题引入
两条弦在圆内相交时，交点把每条弦分成两段。看似四段长度都在变化，但同一个圆内的圆幂保持不变。
拖动圆上的 A、B、C、D，让两条弦 AB、CD 在圆内交于 P，观察交点分出的四段长度如何满足 PA × PB = PC × PD。
动态观察
拖动圆上的 A、B、C、D 改变两条弦的位置，并保持两条弦在线段内部相交，交点记为 P。
- 拖动圆上的 A、B、C、D，改变两条弦的位置。
- 保持两条弦在线段内部相交，交点记为 P。
- 观察 PA × PB 与 PC × PD 的数值和面积矩形。
- 勾选「显示证明辅助线」，查看相似三角形证明。
侧栏的「显示选项」里有三个开关：显示线段长度标签、显示乘积面积矩形（这两个默认勾选）、显示证明辅助线。交点不在两条弦的线段内部时，画板会提示先调整四个点，实时数据一行都显示「--」。
规律发现
无论怎么拖，单段长度 PA、PB、PC、PD 都在变，但两组乘积始终保持相等：
侧栏「实时数据」里可以逐行核对：PA × PB 与 PC × PD 两行始终显示相同的数值，「差值」一行始终显示 0.00。
两条弦 AB、CD 在圆内交于点 P，下列关系恒成立的是？
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P 在弦 AB 上，把 AB 分成 PA、PB 两段；P 在弦 CD 上，把 CD 分成 PC、PD 两段。由相交弦定理得 PA × PB = PC × PD，侧栏两行乘积的「差值」始终为 0.00。
原理解释
连接 AD 和 BC，观察两个三角形 △APD 与 △CPB。
∠APD = ∠CPB，因为它们是对顶角；∠ADP = ∠CBP，因为它们都是同弧 AC 所对的圆周角。
所以对应边成比例：PA / PC = PD / PB，交叉相乘得到：
例题应用
两条弦在圆内相交时，交点把每条弦分成两段。看似四段长度都在变化，但同一个圆内的圆幂保持不变。求圆内相交弦上的线段长，一般按下面的步骤走。
- 找到交点 P，并写出两条弦 AB、CD 上的四段 PA、PB、PC、PD。
- 连接 AD、BC，构造 △APD 与 △CPB。
- 利用对顶角相等和同弧圆周角相等，得到两个三角形相似。
- 由对应边比例交叉相乘，得到 PA × PB = PC × PD。
互动练习
⊙O 内两条弦 AB、CD 交于点 P，若 PA = 4，PB = 9，PC = 6，则 PD = ？
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由相交弦定理 PA × PB = PC × PD，得 4 × 9 = 6 × PD，所以 PD = 36 ÷ 6 = 6。
证明 △APD ∽ △CPB 时必须用到的是？
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∠APD 与 ∠CPB 是对顶角，∠ADP 与 ∠CBP 是同弧 AC 所对的圆周角，两组角分别相等，于是两个三角形相似。两条弦互相平分并不是一般成立的条件，半径相等也与这两组角无关。
拖动 A、B、C、D 改变两条弦的位置，但始终保持它们在圆内相交：PA、PB、PC、PD 会怎么变？PA × PB 与 PC × PD 又会怎么变？
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四段长度都会随两条弦的位置改变而改变，并不是定值；由相交弦定理，两组乘积始终相等，侧栏「差值」一行恒为 0.00。