折叠专题：折痕是对称轴

折叠的三个基本事实

所有折叠题都只用这三条，遇到再复杂的图形也先回到它们：

1. 折叠前后两个图形全等（对应边相等、对应角相等）；
2. 折痕就是对称轴：它是每一对对应点连线的垂直平分线；
3. 折痕两侧的图形关于折痕成轴对称，因此对应点到折痕上任意一点的距离相等。

由此还常推出一条：折痕上的点到一对对应点的距离相等——这是很多题的关键一步。

动态观察

矩形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，顶点 B 落到 B′ 处，AB′ 与 CD 交于点 E。

拖动 B 改变矩形的长宽，观察重叠部分 △AEC。

1. 拖动 B 左右移动，改变矩形的长宽（高度固定）。
2. 盯住侧栏的 AE 与 CE 两行读数，看它们是否始终相等。
3. 对照 ∠BAC 与 ∠B′AC：这两个角是折叠前后的对应角，应当相等。
4. 注意 B′ 与 B 到折痕 AC 的距离始终相同——这就是「折痕是对称轴」。

题型一：求折痕相关的线段长

标准链路：折叠给出等角 → 等角加平行给出等腰 → 等腰加勾股求长度。

以「矩形 ABCD，AB = 8，BC = 6，沿 AC 折叠，AB′ 与 CD 交于 E，求 AE」为例：

1. 由折叠得 ∠BAC = ∠B′AC（对应角相等）。
2. 因为 AB ∥ CD，由内错角相等得 ∠BAC = ∠ACD。
3. 于是 ∠B′AC = ∠ACD，在 △AEC 中等角对等边，得 AE = CE。
4. 设 AE = CE = x，则 DE = CD − CE = 8 − x。
5. 在 Rt△ADE 中用勾股定理：AD² + DE² = AE²，即 6² + (8 − x)² = x²。
6. 解得 36 + 64 − 16x + x² = x²，100 = 16x，x = 25/4。

看得出关键在第 1–3 步：折叠把「等角」送到平行线旁边，立刻变出等腰三角形。

题型二：折叠与三角形

三角形折叠题的折痕往往过某个顶点或与某边相交，处理思路一致：

• 先找对应点与对应边，写出所有相等的线段与角；
• 若折痕与某边平行，往往出现等腰三角形或相似（本库「相似」相关单元会用到）；
• 求长度时统一设未知数 + 勾股定理，不要试图直接算折痕长。

题型三：正方形与菱形折叠

• 正方形的折叠常与「45° 角」「等腰直角三角形」连用，因为它的对角线天然把直角平分；
• 菱形的折叠要用到「对角线互相垂直平分」与「四条边相等」；
• 无论哪种，先把折叠带来的等量关系全部标在图上，再看还剩哪个未知量——通常只剩一个，勾股即可解决。

互动练习