问题引入
在三角形 ABC 中作 ∠A 的平分线 AD，再过 D 作一条与 AC 平行的直线，交 AB 于 E。
图形里凭空多出一个三角形 △AED。它看上去很普通，但量一量就会发现：AE 和 ED 一样长——它是等腰三角形。
角平分线和平行线，为什么能"合谋"造出等腰？
动态观察
拖动顶点 A、B、C 改变三角形形状，观察 △AED 的两条边 AE、ED 如何变化。
- 拖动 A、B、C，让三角形呈现不同的形状（锐角、钝角、不等边都试试）。
- 盯住侧栏的 AE 与 ED 两行读数，看它们是否始终相等。
- 再对照 ∠EAD 与 ∠EDA 两行，理解「为什么」会相等。
规律发现
无论三角形怎么变，△AED 始终是等腰三角形：
在本单元的图形中（AD 平分 ∠BAC，DE ∥ AC 交 AB 于 E），下列哪组线段一定相等？
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△AED 是等腰三角形，腰是 AE 与 ED，所以 AE = ED。AD 是底边，一般与前两者不等。
原理解释
关键是把两个角"搬到"同一个三角形里：
- 因为 DE ∥ AC，由两直线平行、内错角相等得 ∠EDA = ∠DAC；
- 因为 AD 平分 ∠BAC，得 ∠EAD = ∠DAC。
两个等式右边相同，所以：
在 △AED 中，两个角相等，由等角对等边得 AE = ED。
一句话总结：平行线负责把角搬过来，角平分线负责给出另一个等角，等角对等边收尾。
在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC，DE ∥ AC 交 AB 于 E，则 △AED 是 ______ 三角形。（填两个字）
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由 DE ∥ AC 得 ∠EDA = ∠DAC，由 AD 平分 ∠BAC 得 ∠EAD = ∠DAC，于是 ∠EAD = ∠EDA，等角对等边得 AE = ED，所以 △AED 是等腰三角形。
例题应用
「角平分线 + 平行线 ⇒ 等腰」常用来把一条线段搬到另一个位置，是证明线段相等、转移边长的常用手段。
- 先找图中已有的角平分线，再看有没有与某边平行的直线。
- 用内错角把平行线两端的角对应起来。
- 用角平分线给出第二个等角，凑出「同一个三角形内两角相等」。
- 由等角对等边得到等腰，再把它代进待证的结论。
在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC，DE ∥ AC 交 AB 于 E。∠EDA 等于哪个角？
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DE ∥ AC，∠EDA 与 ∠DAC 是内错角，所以 ∠EDA = ∠DAC（它恰好等于 ∠BAC 的一半）。再配合 ∠EAD = ∠DAC，就得到 △AED 的两个底角相等。
互动练习
把 ∠DAC 转移到 ∠EDA 用到了平行线的哪条性质？
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DE ∥ AC，直线 AD 是截线，∠EDA 与 ∠DAC 位于截线两侧、被截两直线之间，是一对内错角，所以相等。注意这里用到的不是同旁内角互补。
在本单元的画板上，如果把「DE ∥ AC」改成「DE ∥ AB」（仍与 AB 相交的那条平行线改为与另一条边平行），图形还可能出现等腰三角形吗？动手改一改、量一量，再说明理由。
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参考结论：若过 D 作 DE ∥ AB 交 AC 于 E，则同理可得 △AED 仍是等腰三角形（此时 AE = ED 的推理完全对称，只是把「内错角」换成另一组）。规律是：过角平分线与对边的交点作另一条邻边的平行线，必得等腰——平行于哪条邻边，只决定等腰三角形落在哪个位置。