问题引入
四边形的内角和是 360°，所以只要一组对角互补（和为 180°），另一组对角也必然互补。
条件听起来平常，但它其实非常强：它逼着四个顶点落在同一个圆上。这就是「四点共圆」最常用的判定之一，也是中考里"隐圆"类问题的入口。
动态观察
图中 A、B、C 固定在圆上，拖动 D 沿圆移动，观察对角之和的变化。
- 拖动 D 沿圆周移动，盯住侧栏的 ∠A + ∠C 一行，看它是否变化。
- 注意 D 无论移到哪里，四个顶点始终在同一个圆上——这正是本单元要说明的事。
- 勾选侧栏的「让 D 满足 AB = AD」，再看 ∠BCA 与 ∠ACD 两行读数。
规律发现
只要 A、B、C、D 四点共圆，对角就互补：
反过来，对角互补也是四点共圆的判定：若四边形的一组对角互补，则四个顶点共圆。
圆内接四边形 ABCD 中，∠A = 85°，则 ∠C 等于多少度？
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圆内接四边形对角互补，∠C = 180° − ∠A = 180° − 85° = 95°。
原理解释
为什么共圆就互补？ 用圆周角定理：∠A 所对的是不含 A 的那段弧 BCD，∠C 所对的是弧 BAD，两段弧正好拼成整个圆：
为什么互补就共圆？ 作 △ABD 的外接圆，再比较 C 与这个圆的位置关系：C 在圆内时 ∠BCD 偏大、在圆外时偏小，只有当 C 恰好落在圆上，∠BCD 才正好等于 180° − ∠A。所以对角互补的四边形，第四个顶点一定落在外接圆上。
两条合起来就是：对角互补 ⇔ 四点共圆。
四边形 ABCD 中，若 ∠A + ∠C = 180°，可以推出什么结论？
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∠A 与 ∠C 是一组对角且互补，由本单元判定得 A、B、C、D 四点共圆。四边相等与对角线互相平分都是平行四边形的性质，与本条件无关。
例题应用
在「对角互补」的基础上再加一组邻边相等，会得到一条很好用的结论：对角线平分另一组对角。
- 已知 A、B、C、D 四点共圆，且 AB = AD。
- 弦相等 ⇒ 它们所对的弧相等：⌒AB = ⌒AD。
- ∠BCA 所对的是弧 BA，∠ACD 所对的是弧 AD。
- 等弧对等圆周角，所以 ∠BCA = ∠ACD，即 AC 平分 ∠BCD。
圆内接四边形 ABCD 中，∠A : ∠C = 1 : 2，则 ∠A 等于多少度？（只填数字）
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圆内接四边形对角互补，∠A + ∠C = 180°。设 ∠A = x，则 ∠C = 2x，得 3x = 180°，x = 60°。
互动练习
在对角互补的四边形中，若 AB = AD，则 AC 平分 ∠BCD。这一步的依据是什么？
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AB = AD 说明两条弦相等，同圆中相等的弦所对的弧相等（⌒AB = ⌒AD）；而 ∠BCA 与 ∠ACD 分别是这两段弧所对的圆周角，等弧对等圆周角，所以两个角相等。整个过程与余角、平行线无关。
在本单元的画板上，把 D 拖到使四边形"看起来"接近一条直线（∠A 或 ∠C 接近 0°），观察另一组对角发生什么变化。你能说出此时四点的位置特点吗？
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参考结论：一组对角中有一个趋近 0° 时，另一个趋近 180°，四边形退化成"三点几乎共线"的形状，但四个顶点仍在同一个圆上——圆变成经过这三点的那个圆，第四点滑到了弧的端点附近。这说明对角互补的约束在退化位置依然成立，也说明"四点共圆"并不要求四个点分散开。