问题引入
将军从 A 点出发，先到河边 P 点饮马，再到 B 点军营。怎样选择饮马点 P，才能使 AP + PB 最短？
动态观察
拖动河上的点 P，比较不同饮马点的路径长度；拖动 A 或 B，观察最短点如何变化。 绿色点 P₀ 是理论上的最短位置。
- 拖动河上的点 P，比较不同饮马点的路径长度。
- 拖动 A 或 B，观察最短点如何变化。
- 绿色点 P₀ 是理论上的最短位置。
规律发现
移动 P 点时，留意虚线三角形 A′PB：只要 P 不在直线 A′B 上，两边之和就大于第三边， 也就是 AP + PB 始终大于 A′B。只有当 P 落到 P₀ 处，AP + PB 才正好等于 A′B。 右侧「当前差值」一行实时显示 AP + PB 与 A′B 的差距，把 P 拖到 P₀ 时它会变成 0。
把 A 关于河岸 l 作对称点 A′ 之后，为什么可以把 AP + PB 改写成 A′P + PB？
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因为 A 与 A′ 关于河岸 l 对称，而 P 就在对称轴 l 上，所以 AP = A′P。 于是 AP + PB = A′P + PB，折线路径被「搬」成了从 A′ 到 B 的路径。
原理解释
把 A 关于河岸作对称点 A′，因为 P 在河岸上，所以 AP = A′P。
AP + PB = A′P + PB ≥ A′B
当 A′、P、B 三点共线时，A′P + PB 正好等于 A′B，此时 AP + PB 最短。
例题应用
这是折线路径最短的经典模型：从 A 到直线 l 上一点 P，再到 B，要求 AP + PB 最小。 核心是用轴对称把折线变直线。
- 把 A 关于直线 l 对称到 A′。
- 因为 P 在 l 上，所以 AP = A′P。
- 原式 AP + PB 转化为 A′P + PB。
- 当 A′、P、B 三点共线时，折线等于直线 A′B，此时最短。
互动练习
理论上的最短饮马点 P₀ 在哪里？
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当 A′、P、B 三点共线时，A′P + PB 正好等于 A′B，此时 AP + PB 最短， 所以 P₀ 就是直线 A′B 与河岸 l 的交点。
把 P 拖到理论最短点 P₀ 处，「当前差值」一行显示多少？
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P 在 P₀ 处时 A′、P、B 三点共线，AP + PB = A′B，两者之差为 0。