初中几何｜初中几何动画学习

三角形基础

内角和

三角形内角和为 180°

过顶点作 AB 的平行线，把三个分散的内角拼成一条直线上的平角。

三边关系

三角形两边之和大于第三边

调节三条线段的长度，观察什么时候能闭合成三角形，并理解「两边之差小于第三边」。

平行线拐点

平行线「拐点偏移守恒模型」

先保留一个核心拐点 C：它可以移动到两条平行线之间，也可以移动到上方或下方外部。过拐点作平行线，观察朝向相反的角度如何守恒。

铅笔头模型：多拐点折线的角和

折线两端落在同一条平行线上、中间有 n 个拐点时，整个图形的内角和等于 180° × n。n = 1 就是三角形，n = 2 就是四边形。

倒角模型

多垂直倒角

多垂直倒角：同角的余角相等

直角 ∠AOB 内任取射线 OC，再作射线 OD ⊥ OC。拖动 C 会发现 ∠AOC 与 ∠BOD 总相等——它们都是 ∠BOC 的余角。

八字模型

八字模型：对顶角两侧的角之和相等

两条直线相交，连接端点得到两个共顶点的三角形。它们除去对顶角后，剩下的两角之和相等：∠A + ∠C = ∠B + ∠D。

飞镖模型

飞镖模型：凹顶点处的角等于另外三角之和

三角形 ABC 内取一点 O，连接 OB、OC 得到凹四边形 ABOC。拖动 O，观察凹顶点处的 ∠BOC 始终等于 ∠A + ∠ABO + ∠ACO。

等腰与三线合一

角平分线 + 平行

角平分线 + 平行线 ⇒ 等腰三角形

角平分线遇上一组平行线，内错角把平分出的两个角「搬」到同一个三角形里，于是等角对等边，出现等腰三角形：AE = ED。

三线合一

三线合一：等腰三角形的中线、高与角平分线

等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。拖动顶点，看三条线何时合成一条、何时分开。

全等与变换

手拉手模型

两个等腰三角形共用顶点 O 且顶角相等：旋转后可证 △AOC ≌ △BOD，于是 AC = BD，两条连线的夹角恒等于顶角 α。

倍长中线

中线倍长模型

已知三角形 ABC，D 为 BC 中点。连接 AD，延长 AD 到 E，使 DE = AD，再连接 BE。观察 △BED 与 △ADC 如何由 SAS 判定全等。

对称半角

对称半角模型

锐角三角形 ABC 中，过 A 作 BC 的垂线 AD。把 D 分别关于 AB、AC 对称到 E、F，观察等腰三角形 AEF 和顶角倍角关系。

折叠专题

折叠专题：折痕是对称轴

折叠的实质是轴对称全等——对应边、对应角相等，折痕垂直平分对应点的连线。矩形、三角形、菱形折叠题都从这三条出发。

直角三角形与中位线

斜边中线

斜边中线定理：斜边上的中线等于斜边的一半

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，斜边中点到三个顶点距离相等。拖动直角顶点 C，观察 CM 与 AM、BM 始终相等。

30° 角

30° 角所对的直角边等于斜边的一半

含 30° 角的直角三角形中，30° 所对的直角边等于斜边的一半，三边比为 1:√3:2；反过来，一条直角边等于斜边一半时它所对的角就是 30°。

中位线

三角形中位线定理

连接三角形两边中点的线段叫中位线，它平行于第三边，且等于第三边的一半。拖动顶点，观察 DE 与 BC 的比始终是 1:2。

相似与比例

A 字型

A 字型相似：平行线截出的相似三角形

在三角形中作一条与底边平行的线段，截出的小三角形与原三角形相似，三组对应边成比例，面积比等于相似比的平方。

反 A 型

反 A 型相似：共角加一组等角

两个三角形共用顶点 A 的角，再有一组对应角相等，就相似——但对应关系与 A 字型不同，比例式要写成 AD:AC = AE:AB。

八字型相似

八字型相似：平行线加对顶角

两条平行线段的两端交叉连线，交点把图形分成两个相似三角形——对顶角相等、内错角相等，于是三组对应边成比例。

母子相似

母子相似：直角三角形斜边上的高

直角三角形斜边上的高把原三角形分成两个小三角形，三个三角形两两相似，由此得到 CD² = AD × BD、AC² = AD × AB、BC² = BD × AB。

面积比模型

鸟头模型：等角的两个三角形面积比

两个三角形只要有一组角相等（或互补），面积比就等于夹这个角的两边乘积之比——不需要平行，也不需要相似。

燕尾模型：同高三角形的面积比

从同一个顶点出发的两个三角形，面积比等于它们底边的比。三角形内一点与顶点连线后，两侧三角形的面积比就等于对边被分成的两段之比。

十字架

十字架模型：矩形内两条垂直线段之比

在矩形中，一条连接左右两边、另一条连接上下两边的垂直线段，长度之比等于矩形的长宽比；正方形中两条线段相等。

相似倒数型

AB ∥ CD，A、C 在左侧，B、D 在右侧。AD 与 BC 交于 F，连接 AC，过 F 作 EF ∥ CD 交 AC 于 E，观察倒数等式。

一线三等角

一线三等角模型

已知线段 BD，点 C 在线段 BD 上，A、E 在 BD 上侧且分居左右。拖动 C，并调节公共角 α，观察 ∠ABD = ∠ACE = ∠EDB 时，△ABC 与 △CED 为什么相似。

四边形

平行四边形的性质

平行四边形的性质：对边、对角与对角线

拖动平行四边形的三个顶点，第四个顶点会自动跟随。观察对边始终相等、对角始终相等、两条对角线互相平分。

中点四边形

中点四边形：任意四边形都能连出平行四边形

顺次连接任意四边形四条边的中点，得到的四边形一定是平行四边形——因为它的两组对边都平行于原四边形的对角线。

筝形

筝形：两组邻边相等的四边形

两组邻边分别相等的四边形叫筝形，它关于其中一条对角线对称——那条对角线垂直平分另一条，并且平分一组对角。

最值与路径

将军饮马

将军饮马问题

将军从 A 点出发，先到河边 P 点饮马，再到 B 点军营；拖动 P、A、B，观察什么时候 AP + PB 最短。

胡不归模型

动点 P 在定直线 l 上运动，观察带系数线段和 PA + k·PB 的最小值。拖动 P，切换 k，看看如何把 k·PB 转成垂线段 PQ。

中点动点

三角形中点动点模型

已知三角形 ABC，D 为 BC 中点。E、F 分别在 AB、AC 上，M 在 EF 上移动。拖动 A、B、C、E、F、M，观察三角形 BDM 的周长什么时候最小。

梯子滑动

梯子滑动：中点始终到墙角的距离不变

梯子两端分别沿墙面与地面滑动时，梯子中点始终在以墙角为圆心、半个梯长为半径的圆弧上运动——因为直角三角形的斜边中线等于斜边的一半。

造桥选址

两定点 + 一定长型

两条东西向平行河岸 l₁、l₂ 之间要修一座桥 EF。桥必须垂直于两岸，这样桥长就是河宽、造桥最经济；拖动 P、Q、桥位 E、F，观察路径 PE + EF + FQ 何时最短。

两定点 + 两定长型

村庄 P、Q 隔着两条互不平行且不相交的河道，两座定长垂桥 EF、MN 分别架在两条河道上；拖动桥位和河宽，观察路线 P → E → F → M → N → Q 何时最短。

角内周长最小

角内定点周长最小

已知角 ∠AOB 和角内一个定点 P，Q、R 分别在 AO、BO 上移动；拖动 Q、R 比较三角形 PQR 的周长，观察它什么时候最小。

角内两定点周长最小

已知角 ∠AOB，内部有两个定点 M、N。E 在 AO 上，F 在 BO 上，求四边形 MNFE 的周长最小值。拖动 A、O、B、M、N、E、F，观察两次翻折如何把折线拉直。

角内射线

角内射线最短路径

角 ∠AOB 内有一条射线 OC，M 在 OA 上、N 在 OB 上、P 在 OC 上移动，拖动 P 观察 PM + PN 什么时候最短。

阿氏圆

阿氏圆：到两定点距离之比为定值

到两个定点距离之比等于定值 k（k 不等于 1）的点的轨迹是一个圆，叫阿波罗尼斯圆。它常与胡不归配对，用来解决带系数的线段和最值。

费马点

费马点：到三个顶点距离之和最小的点

三角形内使 PA + PB + PC 最小的点叫费马点。当三个角都小于 120° 时，费马点对各边张角都是 120°。

瓜豆原理

瓜豆原理：主动点与从动点的轨迹相似

主动点沿某条轨迹运动，从动点与它保持固定的位置关系（位似、旋转、平移），则从动点的轨迹与主动点的轨迹形状相同——种瓜得瓜，种豆得豆。

米勒最大张角

米勒问题：最大视角

在一条直线上找一点 P，使它对一条定线段 AB 的张角最大——答案是过 A、B 且与该直线相切的圆的切点。

面积

蝴蝶模型

梯形中的蝴蝶模型

连接梯形 ABCD 的两条对角线，交点 O 把梯形分成四个小三角形，观察左右两片“蝴蝶翅膀”面积相等与四块面积的份数比例。

勾股定理

面积法证明

赵爽弦图证明勾股定理

拖动两个滑块改变直角边 a、b，观察四个全等直角三角形如何围出中间边长为 c 的正方形，从面积关系推出 a² + b² = c²。

三角形的四心

四心与欧拉线

三角形内心

拖动三角形的顶点，观察三条角平分线如何交于一点，以及这个点到三边的距离为什么总相等。

三角形外心

拖动三角形的顶点，观察三边的垂直平分线如何交于一点，以及这个点到三个顶点的距离为什么总相等。

三角形垂心

拖动三角形的顶点，观察三条高如何交于一点，并比较锐角、直角、钝角三角形中垂心的位置。

三角形重心

拖动三角形的顶点，观察三条中线如何交于一点，并验证重心把每条中线分成 2:1。

三角形欧拉线

拖动三角形的顶点，观察外心 O、重心 G、垂心 H 如何始终在同一直线上，并验证 HG = 2GO。

圆

圆周角

圆周角定理

固定圆上一条弦 AB，拖动弦两侧圆弧上的点 C、D，观察同弧圆周角相等、异侧圆周角互补，以及直径所对的圆周角为 90°。

直径对直角

直径所对的圆周角是直角

直径（半圆）所对的圆周角等于 90°；反过来，90° 的圆周角所对的弦一定是直径。拖动圆周上的点，还能顺带验证勾股定理。

隐圆

隐圆：定角对定边

动点对一条定线段张成的角始终不变时，它就在一段圆弧上运动——这个看不见的圆叫隐圆，常用来求点到点的最值。

切线与弦切角

切线长定理

从圆外一点 P 向圆引两条切线 PA、PB，拖动 P 观察两条切线长度相等，以及 PO 同时平分夹角并垂直平分弦 AB。

弦切角定理

顶点在圆上，一边是切线、一边是弦的角叫弦切角。自由拖动圆外点 P，切点 T 会随之变化，观察弦切角如何转化为同弧所对的圆周角。

圆幂定理

相交弦定理

拖动圆上的 A、B、C、D，让两条弦 AB、CD 在圆内交于 P，观察交点分出的四段长度如何满足 PA × PB = PC × PD。

割线定理与切割线定理

从圆外一点 P 引两条割线，观察 PA × PB = PC × PD；再把第二条割线切换为切线 PT，得到 PT² = PA × PB。

四点共圆

对角互补模型：四点共圆与对角线平分

四边形一组对角互补时，四个顶点必共圆；若再添一组邻边相等，对角线就会平分另一组对角。拖动 D 可同时验证这两条。

圆内接四边形的度量

托勒密定理：圆内接四边形的对角线

圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和：AC × BD = AB × CD + AD × BC。

婆罗摩笈多公式：圆内接四边形的面积

圆内接四边形的面积只由四条边决定：S = √((s−a)(s−b)(s−c)(s−d))，其中 s 是半周长。它是海伦公式在四边形上的推广。