平行四边形的性质：对边、对角与对角线

问题引入

平行四边形看上去只是"两组对边平行"，但由这一条能推出三组很实用的结论：对边相等、对角相等、对角线互相平分。

它们都不需要额外条件，只要图形是平行四边形就自动成立。

动态观察

拖动 A、B、C 三个顶点，第四个顶点 D 会自动移动——因为 D 由 A、B、C 唯一确定。

1. 拖动 A、B、C，把平行四边形拉成各种形状（扁的、斜的、接近矩形的）。
2. 对照侧栏的 AB 与 DC、AD 与 BC 两组读数，看对边是否始终相等。
3. 再对照 ∠A 与 ∠C、∠B 与 ∠D，看对角是否始终相等。
4. 最后看两条对角线的中点是否始终重合——这就是"对角线互相平分"。

规律发现

设 ABCD 为平行四边形，则三组结论同时成立：

其中 O 是两条对角线的交点。

原理解释

三条性质都由"对边平行"加全等推出：

• 连接对角线 AC，则 AB ∥ DC 给出 ∠BAC = ∠DCA（内错角），AD ∥ BC 给出 ∠BCA = ∠DAC；加上公共边 AC，由 ASA 得 △ABC ≌ △CDA；
• 由这组全等立刻得到 AB = DC、AD = BC、∠B = ∠D（对应边、对应角相等）；
• 同理连接另一条对角线可证 ∠A = ∠C；两条对角线的交点 O 处，由 △AOD ≌ △COB 得 AO = OC、BO = OD，即对角线互相平分。

一条辅助线（对角线）就能把三条性质一起证出来，这是平行四边形题目里最常用的手法。

例题应用

平行四边形的性质常用来转移线段与角：把一条难以处理的边或角，换成与它相等的另一条。

1. 确认图形是平行四边形（或先证明它是）。
2. 需要哪条线段，就换成与它相等的对边；需要哪个角，就换成与它相等的对角。
3. 若涉及对角线，用"交点平分对角线"把它变成中点问题。
4. 综合题里常常再连一条对角线，用全等或中位线继续推进。

互动练习