问题引入
直角三角形里有一条关于「一半」的结论：斜边上的中线，长度恰好是斜边的一半。
更妙的是，斜边中点 M 到三个顶点的距离全都相等——它其实是这个三角形的外心，以 M 为圆心、MA 为半径画圆，三个顶点都落在圆上。
动态观察
直角顶点 C 沿圆滑动（这个圆正是以 AB 为直径的圆，所以 ∠ACB 永远是 90°），斜边 AB 固定不动。
- 拖动 C 沿圆移动，观察 ∠ACB 是否始终保持 90°。
- 盯住侧栏的 CM、AM、BM 三行读数，看它们是否始终相等。
- 勾选侧栏的「显示外接圆」，看清楚 M 到三个顶点的距离为什么一样。
规律发现
设 M 是斜边 AB 的中点，则：
直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，M 是 AB 的中点，则 CM 等于多少？
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由斜边中线定理，CM = ½ AB = ½ × 10 = 5。
原理解释
把中线 CM 倍长到 D，使 CM = MD，连接 AD、BD：
- 四边形 ACBD 的对角线互相平分（M 同时是 AB 与 CD 的中点），所以它是平行四边形；
- 又因为 ∠ACB = 90°，这个平行四边形有一个直角，所以它是矩形；
- 矩形的对角线相等，得 AB = CD；而 CD = 2CM。
于是 2CM = AB，即 CM = ½ AB。同时 M 到 A、B、C 的距离都是 ½ AB，所以 M 是 △ABC 的外心。
直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，斜边 AB 上的中线 CM = 4，则 AB 等于多少？（只填数字）
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由 CM = ½ AB 得 AB = 2CM = 2 × 4 = 8。
例题应用
这条定理最常用的地方是把「斜边的一半」换成「中线」（或反过来），从而把分散的条件集中到一个三角形里。
- 确认三角形是直角三角形，并找准斜边。
- 取斜边中点 M，连出中线 CM。
- 需要「斜边一半」时直接写成 CM；需要 CM 时写成 ½ AB。
- 若题目说"某边上的中线等于该边的一半"，则反过来判定它是直角三角形。
在 △ABC 中，CM 是 AB 边上的中线，且 CM = ½ AB。可以推出什么结论？
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这是斜边中线定理的逆用：一边上的中线等于该边的一半，则该边所对的角是直角。此处 AB 所对的角是 ∠C，所以 ∠C = 90°，即 AB 是斜边。注意不是 ∠A 或 ∠B，也不要与 30° 角的结论混淆。
互动练习
直角三角形斜边的中点有什么特点？
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由斜边中线定理，M 到 A、B、C 的距离都是 ½ AB，所以它到三个顶点距离相等，正是三角形的外心（外接圆圆心）。到三条边距离相等的是内心，两者不要混。
在本单元的画板上，把 C 拖到使三角形「很扁」和「接近等腰直角」两种情形，观察 CM 与 AM、BM 的比值如何变化。你能说明为什么这个比值不会变吗？
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参考结论：CM : AM : BM 始终是 1 : 1 : 1。因为 M 是斜边中点、AB 长度不变，所以三个距离都恒等于 ½ AB；拖动 C 只改变三角形的形状（∠A、∠B 的大小），不改变斜边长度，也不改变中点位置，因此比值恒定。