角内射线最短路径

问题引入

已知角 ∠AOB，角内有一条射线 OC。点 M 在 OA 上，点 N 在 OB 上，点 P 在射线 OC 上移动，求 PM + PN 的最小值。

初始时让 OB 平行于低边，并把 O 放在左下角，让整个角展示在画布中间。OA、OB、OC 初始都长 15， A、B、C、M、N 都可以移动。为了看清模型，OM 和 ON 初始都大于 10。

动态观察

拖动射线上的点 P，比较不同位置的路径长度。绿色点 P₀ 是理论上的最短位置， 灰色虚线是辅助线：角内时是 MN，角外时是 M′N 或 MN′。

1. 拖动 O、A、B、C，观察角和三条射线如何变化。
2. 拖动 M、N，它们始终分别落在 OA 和 OB 上。
3. 拖动射线上的点 P，比较不同位置的路径长度。
4. 观察灰色辅助线：角内时是 MN，角外时是 M′N 或 MN′。
5. 当 P 拖到 P₀ 附近时，当前路径 PM + PN 达到绿色显示的最短值。

规律发现

OC 在 OA、OB 之间： 直接连接 MN，它与射线 OC 的交点就是最优点 P₀，最小值为 MN。

侧栏「当前总长」实时显示 PM + PN，把它拖到 P₀ 附近时，「差值」一行会接近 0。

1. OC 在角内： M、N 在 OC 两侧，直接连接 MN。
2. OC 在 OA 侧： M 离 OC 近，作 M 关于 OC 的镜像 M′，连接 M′N。
3. OC 在 OB 侧： N 离 OC 近，作 N 关于 OC 的镜像 N′，连接 MN′。
4. 结论： 辅助线与射线 OC 的交点就是最短点 P₀。

原理解释

先判断射线 OC 与 OA、OB 的相对位置。OC 在角内时，直接连接 MN；OC 在角外时， 把靠近 OC 的那个点关于 OC 作镜像，再连接镜像点和另一个点。

1. 若 OC 在 OA、OB 之间，直接连接 MN，设 MN 与 OC 的交点为 P₀。
2. 此时 PM + PN ≥ MN，当 M、P、N 三点共线时取等号。
3. 若 OC 在 OA 侧，作 M 关于 OC 的镜像 M′，连接 M′N，交 OC 于 P₀。
4. 因为 P 在 OC 上，所以 PM = PM′，于是 PM + PN = PM′ + PN ≥ M′N。
5. 若 OC 在 OB 侧，同理作 N 关于 OC 的镜像 N′，连接 MN′，交 OC 于 P₀。

关键是看 M、N 是否分居 OC 两侧。若分居两侧，折线 PM + PN 可以直接拉直成 MN； 若 M、N 在 OC 同侧，就需要把靠近 OC 的点翻折到另一侧，把折线转化为直线。

互动练习