三角形垂心

问题引入

为什么三条高会交于一点？垂心又可能在三角形什么位置？

垂心的位置会随三角形类型变化：锐角在内部，直角在直角顶点，钝角在外部。

动态观察

拖动 A、B、C 改变三角形形状，观察从三个顶点作出的高是否都经过绿色点 H。

1. 拖动 A、B、C 改变三角形形状。
2. 观察从三个顶点作出的高是否都经过绿色点 H。
3. 把三角形拖成钝角或接近直角，比较垂心的位置。

侧栏的「三角形类型约束」可以再把三角形锁成等腰、直角或等边，用来检验结论在特殊三角形中同样成立；「共圆显示」则用来单独开关三组四点共圆。

规律发现

无论怎么拖，三条高都交于同一点 H；侧栏的「垂心位置」也随三角形类型变化：锐角三角形显示「内部」，钝角三角形显示「外部」，把三角形锁成直角三角形（∠A = 90°）时 H 正好落在直角顶点 A 上。

原理解释

从三角形一个顶点向对边所在直线作垂线，这条垂线叫做这条边上的高。三条高交于同一点 H，这个点叫垂心。

还可以观察三组垂足与顶点共圆：A、B、D、E 共圆，B、C、E、F 共圆，C、A、F、D 共圆。以第一组为例，∠ADB 与 ∠AEB 都是直角，所以 A、B、D、E 都在以 AB 为直径的圆上；另外两组同理。

1. 从每个顶点向对边所在直线作垂线，得到三条高。
2. 三条高交于一点 H。
3. 观察三角形变形时，H 的位置如何从内部移动到外部。
4. 利用高形成的直角，还可以推出若干四点共圆关系。

例题应用

在 △ABC 中，AD ⟂ BC 于 D，BE ⟂ CA 于 E，两条高交于点 H。

1. 因为 AD ⟂ BC，所以 ∠ADB = ∠ADC = 90°；因为 BE ⟂ CA，所以 ∠AEB = 90°。
2. ∠ADB 与 ∠AEB 都是直角，A、B、D、E 都在以 AB 为直径的圆上，即四点共圆。
3. 换另外两条高，同样得到 B、C、E、F 共圆与 C、A、F、D 共圆。
4. 把三角形依次拖成锐角、直角、钝角三种形状，观察 H 落在内部、直角顶点、外部。

互动练习