问题引入
从圆外一点向同一圆作两条切线，两个切点形成天然的对称结构。为什么从圆外一点向圆引出的两条切线长度相等？连接该点与圆心的那条线，又具有哪些性质？
题目中出现「圆外点、两条切线」时优先想到切线长相等。
动态观察
拖动圆外点 P，改变切线的方向和长度。
- 拖动圆外点 P，改变切线的方向和长度。
- 观察 PA 与 PB 是否始终相等。
- 比较 ∠APO 与 ∠OPB，并观察 PO 与弦 AB 的关系。
- 勾选或取消「显示长度与角度标签」「显示辅助线和垂直标记」，控制画板上长度与角度标签、辅助线和垂直标记的显隐。
规律发现
从圆外一点向圆引两条切线，两条切线长度相等。
侧栏实时数据里可以逐行核对：PA 与 PB 两行始终显示相同的数值，PA 与 PB 的差一行始终显示 0.00。
从圆外一点 P 向圆引两条切线，切点分别为 A、B，两条切线长度的关系是？
查看答案
OA、OB 都是圆的半径，所以 OA = OB；又由半径垂直切线得 OA ⟂ PA、OB ⟂ PB，所以 △OPA 与 △OPB 都是直角三角形， 且 OP 是公共斜边，由 HL 得 △OPA ≌ △OPB，于是 PA = PB。
原理解释
连接该点与圆心，PO 平分两条切线的夹角。
同时，PO 经过弦 AB 的中点，并且垂直于 AB。
- 连接圆心 O 与两个切点 A、B。
- 利用半径垂直切线，得到 OA ⟂ PA、OB ⟂ PB。
- 比较直角三角形 △OPA 与 △OPB：OP 公共，OA = OB。
- 由全等得到 PA = PB，同时 PO 平分 ∠APB 并垂直平分 AB。
从圆外一点 P 向圆引两条切线 PA、PB，关于圆心连线 PO 的说法正确的是？
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由 △OPA ≌ △OPB 得 ∠APO = ∠OPB，即 PO 平分 ∠APB；又 OA = OB、PA = PB， 所以 O 与 P 都在弦 AB 的垂直平分线上，即 PO 垂直平分弦 AB。
例题应用
从圆外一点 P 向圆引两条切线，切点分别为 A、B。若测得 PA = 6，那么 PB 等于多少？（只填数值）
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由切线长定理 PA = PB，所以 PB = PA = 6。
互动练习
保持圆不动，把圆外点 P 沿 OP 方向拖到离圆更远的位置，两条切线 PA、PB 的长度会怎样变化？
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P 离圆越远，切点到 P 的距离越大，两条切线都变长；但由切线长定理，两段长度始终相等， 侧栏 PA 与 PB 的差一行始终是 0.00。
拖动 P 绕圆一周，∠APO 与 ∠OPB 是否始终相等？再取消勾选「显示辅助线和垂直标记」，观察画板上哪些元素消失。
查看答案
无论 P 拖到哪里，PO 都是这个图形的对称轴：△OPA 与 △OPB 始终全等，所以 ∠APO = ∠OPB、PA = PB， 侧栏 PA 与 PB 的差一行始终是 0.00。取消勾选后，点 M、虚线弦 AB 与 OP、OA、OB，以及三处直角标记都会隐藏。