手拉手模型

问题引入

两个等腰三角形共用顶点 O，并让顶角相等，图形看起来像两只手拉在一起，所以叫做「手拉手模型」。

拖动 O、A、C 或切换顶角 α，观察 AC、BD 的长度和夹角关系；勾选「保持全等」时，两边的等腰三角形会同步为全等图形。

动态观察

1. 拖动 O，整体改变共顶点位置。
2. 拖动 A，点 B 会绕 O 同步旋转，始终保持 OA = OB。
3. 拖动 C，点 D 会绕 O 同步旋转，始终保持 OC = OD。
4. 观察图中的 α：∠AOB、∠COD，以及交点处的 ∠APB、∠CPD。

规律发现

无论把 O、A、C 拖到哪里，或者把顶角 α 换成 60°、90° 或任意角度，连线 AC 与 BD 都保持相等； 两条连线的夹角也与顶角相等。

原理解释

两个等腰三角形共用一个顶点，且顶角相等或有固定关系时，常形成「旋转全等」。模型外形像两只手拉在一起。

题设给出的是两组等腰边 OA = OB、OC = OD 和相等的顶角 ∠AOB = ∠COD = α。 把其中一块三角形绕公共顶点 O 旋转 α，它正好与另一块重合，于是两个三角形的对应边、对应角全部相等。 画板上的 P 是 AC 与 BD 的交点，虚线 OP 在等边三角形的情形下（α = 60°）被加粗显示。

例题应用

以图中的 △AOC 与 △BOD 为例，证明 AC = BD。

1. 先找共顶点和两组等边，例如 OA = OB、OC = OD。
2. 确认夹角 ∠AOC 与 ∠BOD 相等，或由公共角加同一角推出相等。
3. 用 SAS 证明 △AOC ≌ △BOD。
4. 推出对应边 AC = BD，并进一步观察两条连线的夹角关系。

互动练习