三角形重心

问题引入

三角形重心是三条中线的交点，也是“质量均匀薄片”的平衡点，它最常用的性质就是按 2:1 分割每条中线。

在三角形 ABC 中，连接每个顶点和它对边的中点，得到三条中线。这三条线会不会交于一点？如果交于一点，这个交点又把每条中线分成的两段有什么关系？

动态观察

拖动 A、B、C 改变三角形形状，观察三条中线是否始终经过绿色点 G。

1. 拖动 A、B、C 改变三角形形状。
2. 观察三条中线是否始终经过绿色点 G。
3. 比较顶点到 G 与 G 到对边中点的长度比。

侧栏的「三角形类型约束」可以再把三角形锁成等腰、直角或等边，用来检验结论在特殊三角形中同样成立。

规律发现

无论怎么拖，三条中线都交于同一点 G，而且 AG : GM、BG : GN、CG : GP 三个比值始终相等，都是 2 : 1；侧栏的「重心位置」也一直显示「内部」。

原理解释

连接一个顶点和它对边中点的线段叫做中线。三角形的三条中线交于同一点 G，这个点叫做三角形的重心。

也就是说，从顶点出发沿中线走向对边中点，先走完全长的三分之二就到达重心。

为什么一定是 2 : 1？设 M 是 BC 的中点，把「三个顶点坐标的平均」记为 G：

1. M 是 BC 的中点，所以 M 的坐标是 B 与 C 的平均。
2. 于是 G = (A + B + C) / 3 可以写成 G = (A + 2M) / 3，说明 G 落在线段 AM 上，且 AG : GM = 2 : 1。
3. 把 M 换成另外两条中线的中点，同样的推导说明 G 也在 BN、CP 上。
4. 三条中线同时经过 G，所以它们共点；G 到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍。

例题应用

在 △ABC 中，G 是重心，M 是 BC 的中点。已知中线 AM = 9，求 AG 与 GM 的长。

1. 重心把中线分成 2 : 1，其中顶点到重心的那段是 2 份。
2. 所以 AG = 9 × ⅔ = 6。
3. GM = 9 × ⅓ = 3。
4. 检验：AG : GM = 6 : 3 = 2 : 1。

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