角内定点周长最小

问题引入

已知角 ∠AOB，P 是角内一个定点。Q 在 AO 上，R 在 BO 上，求三角形 PQR 的周长 PQ + QR + RP 的最小值。

动态观察

拖动 A、O、B 改变角 ∠AOB 的大小和位置，拖动角内定点 P，观察最短位置如何变化； 再拖动 Q、R，比较不同三角形的周长。

1. 拖动 A、O、B，改变角 ∠AOB 的大小和位置。
2. 拖动角内定点 P，观察最短位置如何变化。
3. 拖动 Q、R，它们始终分别落在 AO、BO 上。
4. 绿色点 Q₀、R₀ 是理论最优位置。

画板右侧实时显示 ∠AOB、∠QPR、PQ、QR、RP、当前周长、理论最短与差值，并附一行当前情形的说明。

规律发现

把 P 分别关于 AO、BO 作对称点，得到 P₁、P₂。因为 Q 在 AO 上、R 在 BO 上， 所以 PQ = P₁Q，PR = P₂R。

当 P₁、Q、R、P₂ 四点共线时，周长达到最小值。此时 Q、R 分别是直线 P₁P₂ 与 AO、BO 的交点。

原理解释

1. 作点 P 关于 AO 的对称点 P₁。
2. 作点 P 关于 BO 的对称点 P₂。
3. 因为 Q 在 AO 上，所以 PQ = P₁Q；因为 R 在 BO 上，所以 PR = P₂R。
4. 于是周长 PQ + QR + RP 转化为 P₁Q + QR + RP₂。
5. 根据两点之间线段最短，P₁Q + QR + RP₂ ≥ P₁P₂。
6. 当 P₁、Q、R、P₂ 共线时取等号，最小周长就是 P₁P₂。

三角形周长中有两段连到定点 P：PQ 和 PR。Q、R 分别被限制在两条边上， 所以要分别沿 AO、BO 翻折一次，把这两段都换成从镜像点出发的线段。

互动练习