梯形中的蝴蝶模型

问题引入

连接梯形 ABCD 的两条对角线，交点 O 把梯形分成四个小三角形。拖动上下底端点，观察“蝴蝶翅膀”面积和四块面积比例。

梯形两条对角线相交后，四个小三角形像蝴蝶翅膀。它常用于面积比例、线段比例与中考压轴题中的快速计算。

动态观察

拖动 A、D 改变上底 AD，拖动 B、C 改变下底 BC，看两条对角线 AC、BD 的交点 O 如何把梯形分成四块。

1. 拖动上底 AD 或下底 BC 的端点，改变梯形形状。
2. 观察两条对角线交于 O 后形成的四个三角形。
3. 重点比较左右两片“翅膀”：△AOB 与 △COD。
4. 勾选相似提示，查看为什么面积比与底边平方有关。

侧栏的「显示选项」可以分别开关画板上的面积标签、份数比例与相似三角形提示；「实时数据」卡里则一直显示上下底、四块面积与两个翅膀的面积差。

规律发现

在梯形 ABCD 中，AD ∥ BC，两条对角线交于 O。无论怎么拖动端点，四块面积都保持同一个份数比例：

所以左右两片翅膀面积始终相等：

原理解释

1. 在梯形 ABCD 中连接 AC、BD，交点为 O。
2. 由 AD ∥ BC 得到 △AOD ∽ △COB。
3. 所以上下三角形面积比为 AD²:BC²。
4. 再由同高面积关系推出左右翅膀 [△AOB] = [△COD]，整体比例为 AD²:AD·BC:AD·BC:BC²。

为什么相似比是 AD:BC？因为 AD ∥ BC，△AOD 与 △COB 的内错角分别相等，于是

相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以 [△AOD] : [△COB] = AD² : BC²。

把 AD、BC 的长分别记为 a、b，则上下两块分别是 a² 与 b² 份；而 △AOB 与 △AOD 同高（都以 AO 为底边所在直线上的对应高），面积比等于 DO : OB = a : b，于是 △AOB 是 a·b 份。同理 △COD 也是 a·b 份，所以四块面积的份数比为 a² : ab : ab : b²。

例题应用

在梯形 ABCD 中，AD ∥ BC，两条对角线交于 O。已知 AD = 2，BC = 6，求四块面积的份数比。

1. 由模型结论，S₁:S₂:S₄:S₃ = AD² : AD·BC : AD·BC : BC²。
2. 代入 AD = 2、BC = 6：AD² = 4，AD·BC = 12，BC² = 36。
3. 所以 S₁:S₂:S₄:S₃ = 4 : 12 : 12 : 36。
4. 同除以 4 化简得 1 : 3 : 3 : 9；其中左右两片翅膀 S₂ = S₄ = 3 份，验证了两片翅膀面积相等。

互动练习