割线定理与切割线定理

问题引入

从圆外一点向圆作割线或切线，常用于求线段乘积、切线长或证明比例。它们本质上都是同一个圆幂关系。

圆外一点 P 引两条割线 PAB、PCD 时，两条割线外段与全长的乘积相等。

当第二条割线 PCD 逐渐变成切线 PT 时，两个交点重合为切点 T。

动态观察

拖动圆外点 P，改变两条线从圆外出发的位置；拖动圆上的 A 和 C，改变两条割线与圆的交点。

1. 拖动圆外点 P，改变两条线从圆外出发的位置。
2. 拖动圆上的 A 和 C，改变两条割线与圆的交点。
3. 勾选“把 PCD 变为切线 PT”，比较 PT² 与 PA × PB。

侧栏的「显示选项」可以切换「显示线段长度标签」和「显示辅助线和切线垂直标记」；「实时数据」卡逐行列出 PA、PB、PA × PB、PC、PD、PC × PD 和「差值」。

规律发现

无论怎么拖，侧栏里 PA × PB 与 PC × PD 两行读数始终相同，最后一行「差值」始终是 0.00。

勾选“把 PCD 割线变成切线 PT”后，两个交点 C、D 重合为切点 T，侧栏后三行的读数变成 PT 与 PT² 的数值，与 PA × PB 仍然相等，差值同样是 0.00。

原理解释

圆外一点 P 的两条割线 PAB、PCD 都从同一个点 P 出发与圆相交，比较各自的「外段 × 全长」，得到的乘积相等，这就是割线定理。

把第二条割线 PCD 连续转动到与圆只有一个公共点的位置，割线就退化为切线 PT：两个交点 C、D 重合为切点 T，于是 PC = PD = PT。把它代入割线定理：

这就是切割线定理。它并不是新的结论，而是割线定理在「两个交点重合」时的特殊情形，两者都来自同一个圆幂关系。

勾选「显示辅助线和切线垂直标记」后，画板会补上半径 OT 和直角标记，可以用来说明 PT ⟂ OT。

例题应用

1. 先确定圆外点 P，并区分外段 PA、PC 与全长 PB、PD。
2. 割线模式下直接套用 PA × PB = PC × PD。
3. 当一条割线退化为切线 PT 时，两个交点重合，PC = PD = PT。
4. 于是得到切割线定理 PT² = PA × PB。

例如：PT 是圆 O 的切线（T 为切点），PAB 是过 P 的割线，A 在 P、B 之间。已知 PA = 4，PT = 6，求 PB。

1. 切线模式下 C、D 重合为 T，侧栏的「PC」「PD」两行都显示 PT 的长。
2. 由切割线定理 PT² = PA × PB，得 6² = 4 × PB。
3. 所以 PB = 36 ÷ 4 = 9。
4. 检验：PA × PB = 4 × 9 = 36 = PT²。

互动练习