圆周角定理

问题引入

圆上给定一条弦 AB，在弦 AB 同一侧和两侧的圆弧上各取一点，向 A、B 张角，得到的角与点的位置有关系吗？

圆周角题常出现「同弧、同弦、直径」三类关键词。只要顶点在圆上、两边都与圆相交，并且所对的弧相同， 就可以把角度问题转化为同弧圆周角之间的比较。

动态观察

拖动圆上的 A、B 改变弦 AB 的位置；C、E 会停留在弦 AB 同侧的圆弧上，D 会停留在另一侧的圆弧上。

1. 拖动圆上的 A、B，改变弦 AB 的位置。
2. 拖动 C、E，它们会停留在弦 AB 同侧圆弧上；拖动 D，它会停留在另一侧圆弧上。
3. 比较 ∠ACB 与 ∠AEB 是否相等，再比较 ∠ACB 与 ∠ADB 的和。
4. 勾选「指定弦 AB 经过圆心 O」，观察三个圆周角的变化。

规律发现

同一条弦 AB 把圆分成两段弧。顶点在同一段弧上的圆周角，对应的是另一段同弧，所以角相等： ∠ACB 与 ∠AEB 的顶点都在弦 AB 同侧的弧上，两角始终相等。

当 C、D 分别在弦 AB 两侧时，两个圆周角分别对应小弧和大弧，因此互为补角。

侧栏实时数据里可以逐行核对：∠ACB 与 ∠AEB 两行始终显示相同的数值，∠ACB + ∠ADB 一行始终显示 180.0°。

原理解释

圆周角是顶点在圆上、两边都与圆相交的角。同弧所对的圆周角相等，是因为它们所对的是同一段弧； 顶点沿同一段弧移动时，所对的弧不变，角度也就不变。

当 C、D 位于弦 AB 两侧时，它们所对的两段弧合起来正好是整个圆，所以两角之和恒为 180°。

如果弦 AB 恰好经过圆心 O，AB 就是直径，此时它所对的弧是半圆，所以直径所对的圆周角恒为 90°。

例题应用

1. 先确定圆上的弦 AB 或它所对的弧 AB。
2. 判断待求角是不是同弧或等弧所对的圆周角。
3. 同弧圆周角相等；若弦 AB 是直径，则所对的圆周角为 90°。
4. 拖动圆上点时，角的位置变了，但所对的弧不变，所以角度关系不变。

互动练习