问题引入
「到两定点距离相等的点」的轨迹是垂直平分线——这是学过的。那么：
到两定点距离之比为定值（比如 2 : 1）的点，轨迹是什么？
答案是一个圆，叫阿波罗尼斯圆（阿氏圆）。它是"带系数线段和最小"这类压轴题的钥匙。
动态观察
A、B 是定点，拖动 P 沿圆移动，也可以拖动 k 滑块改变给定比值。
- 拖动 P 沿圆移动，盯住 PA ÷ PB 一行，看它是否始终等于滑块上的比值。
- 拖动 k 滑块，观察阿氏圆的大小与位置如何随比值变化。
- 注意圆心：它总在直线 AB 上，比值越接近 1，圆越大。
规律发现
设 A、B 为定点，动点 P 满足 PA ÷ PB = k（k > 0 且 k ≠ 1），则 P 的轨迹是一个圆：
圆心在直线 AB 上，半径 R = AB × k ÷ |k² − 1|
当 k = 1 时轨迹退化为 AB 的垂直平分线（可以理解为半径无穷大的圆）。
到两定点 A、B 的距离之比恒为 2 : 1 的点的轨迹是什么？
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是一个圆（阿波罗尼斯圆）。注意与"距离相等"对比：距离相等时轨迹是垂直平分线；比值不等于 1 时轨迹变成圆。
原理解释
轨迹是圆的证明用角平分线定理：
- 设 P 满足 PA ÷ PB = k，连接 PA、PB；
- 作 ∠APB 的内平分线交 AB 于 M，由角平分线定理 PM 平分得 AM ÷ MB = PA ÷ PB = k，所以 M 是 AB 上的定点；
- 再作 ∠APB 的外平分线交直线 AB 于 N，同理 AN ÷ NB = k（取外分），所以 N 也是定点；
- 内外角平分线互相垂直，所以 ∠MPN = 90°，即 P 在以 MN 为直径的圆上。
于是 P 的轨迹是以 MN 为直径的圆——圆心、半径都只由 A、B、k 决定。
到两定点 A、B 距离之比为 1 的点的轨迹是什么？（填四个字）
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轨迹是 AB 的垂直平分线。可以代入公式验证：k = 1 时 |k² − 1| = 0，半径趋于无穷，圆退化成直线。
例题应用
阿氏圆的标准题型是求 PA + k · PB 的最小值（0 < k < 1）：
- 找到定点 A、B 与系数 k，注意题目给的是"PA + k·PB"还是"k·PA + PB"。
- 在 AB 上取一个定点 C，使 PC = k · PB（这一步用的是构造阿氏圆，圆心与半径要算准）。
- 于是 PA + k·PB = PA + PC，问题变成"求 PA + PC 的最小值"。
- 由两点之间线段最短，最小值 = 线段 AC 的长度。
在本单元的画板上，把 k 从 1.2 拖到 3，观察阿氏圆的圆心与半径如何变化。k 越来越接近 1 时会发生什么？
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参考结论：k 越接近 1，阿氏圆越大（半径 R = AB × k ÷ |k² − 1| 随 k → 1 而趋于无穷），圆心越远。当 k = 1 时圆"退化"成直线——正是 AB 的垂直平分线。这也解释了为什么垂直平分线可以看作半径无穷大的圆。