隐圆：定角对定边

问题引入

题目里常见的说法是："点 P 满足 ∠APB = 60°（A、B 是定点），求 PB 的最小值。"

题目没有画出圆，但圆其实在那里——P 并不是随便跑的，它被限制在一段圆弧上。这段看不见的圆弧就是隐圆。

动态观察

A、B 是定点，拖动 P 沿弧移动；也可以拖动下方的 α 滑块改变给定的张角大小。

1. 拖动 P 沿弧移动，盯住 ∠APB 一行，看它是否始终等于滑块上的角度。
2. 拖动 α 滑块，观察隐圆的大小如何随张角变化（张角越大，圆越小）。
3. 注意圆心的位置：它总在 AB 的垂直平分线上，且在弧的另一侧。

规律发现

若定点 A、B 与动点 P 满足 ∠APB = α（定值），则 P 在以 AB 为弦的两段圆弧上运动，这段弧属于一个确定的圆：

α 越大，R 越小；当 α = 90° 时 R = AB ÷ 2，隐圆就是以 AB 为直径的圆。

原理解释

道理就是圆周角定理的逆用：

• 在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；
• 反过来，若对同一条线段 AB 张成的角都等于 α，这些点就落在同一个圆上。

圆心在 AB 的垂直平分线上；由弦长公式 AB = 2R sinα 得 R = AB ÷ (2 sin α)。注意轨迹是两段弧（AB 的两侧各一段），题目通常只取其中一侧。

隐圆最大的用处是求最值：把"求 PA 的最小值"转化为"求定点 A 到圆上一点的距离最小值"，答案就是 AO − R（O 为圆心）。

例题应用

隐圆类最值题的标准步骤：

1. 找出定点与定角，确认动点的轨迹是隐圆。
2. 用 R = AB ÷ (2 sin α) 算出半径，并确定圆心的位置（AB 的垂直平分线上）。
3. 把要求的线段最值改写成"某定点到圆上一点的距离"。
4. 最小值 = 定点到圆心的距离 − 半径；最大值 = 该距离 + 半径。