问题引入
AB ∥ CD，A、C 在左侧，B、D 在右侧。AD 与 BC 交于 F，连接 AC，过 F 作 EF ∥ CD 交 AC 于 E，观察倒数等式。
这类模型常出现在梯形或两条平行线之间：已知上下底 AB、CD，中间作一条平行线 EF，最终得到倒数关系。
动态观察
- 拖动上底 A、B，它们只能沿上方水平线左右移动，并保持 A 在左、B 在右。
- 拖动下底 C、D，它们只能沿下方水平线左右移动，并保持 C 在左、D 在右。
- F 是对角线 AD 与 BC 的交点，会随四个端点自动变化。
- E 是过 F 作平行于 CD 的直线与 AC 的交点。
规律发现
无论把四个端点拖到哪里，倒数等式都成立：
AB ∥ EF ∥ CD
1/AB + 1/CD = 1/EF
相似倒数型中，1/AB + 1/CD 与 1/EF 的关系是（ ）
查看答案
侧栏把左边 1/AB + 1/CD 与右边 1/EF 分别算出来，无论怎么拖动，两者的差值都显示为 0.0000。
原理解释
- 因为 AB ∥ CD，且 AD、BC 交于 F，所以 △FAB ∽ △FDC。
- 设相似比 AB:CD = FA:FD = FB:FC = m:n。
- 点 E 在 AC 上且 EF ∥ AB ∥ CD，所以 △AEF ∽ △ACD。
- 由交点分割比例可知 AE:EC = AB:CD = m:n，因此 AE:AC = m:(m+n)。
- 由 △AEF ∽ △ACD 得 EF:CD = AE:AC = m:(m+n)，所以 EF = mn/(m+n)（把 AB=m，CD=n）。
- 因此 1/EF = (m+n)/mn = 1/m + 1/n = 1/AB + 1/CD。
所以只要知道上下底 AB、CD，就能直接算出中间平行线 EF 的长度。
例题应用
- 先利用 AB ∥ EF ∥ CD 找到两组相似三角形。
- 把 EF 与 AB、CD 的比例转化为同一条斜线上的线段比例。
- 用比例式消去中间线段，整理出倒数关系。
- 得到 1/AB + 1/CD = 1/EF，可用于快速求中间平行线长度。
互动练习
已知 AB = 3，CD = 6，求中间平行线 EF 的长度。
查看答案
由 EF = mn/(m+n)，把 m = 3、n = 6 代入得 EF = 18/9 = 2； 也可验证 1/3 + 1/6 = 1/2 = 1/EF。
设 AB = m，CD = n，则中间平行线 EF = （ ）
查看答案
△AEF ∽ △ACD 给出 EF:CD = AE:AC = m:(m+n)，所以 EF = n · m/(m+n) = mn/(m+n)， 取倒数即得 1/EF = 1/AB + 1/CD。