母子相似：直角三角形斜边上的高

问题引入

直角三角形斜边上的高，看起来只是"多画了一条线"，实际上它把原三角形切成了两个小三角形，而且三个三角形两两相似。

这条性质有个形象的名字叫母子相似（大三角形是"母"，两个小三角形是"子"），从中可以直接读出三条平方关系。

动态观察

拖动直角顶点 C（∠ACB 始终是 90°），高 CD 会自动跟着变化。

1. 拖动 C 沿圆移动，观察 △ACD、△CBD 与整个 △ABC 的形状关系。
2. 盯住侧栏的 CD² 与 AD × BD 两行，看它们是否始终相等。
3. 再对照 AC² 与 AD × AB，理解"平方 = 两段相乘"这个共同结构。

规律发现

设 ∠ACB = 90°，CD ⊥ AB 于 D，则三个三角形两两相似，并有三条结论：

第一条是「斜边上的高的平方等于它分斜边所得两段的乘积」，后两条合称射影定理。

原理解释

先用双垂直倒角找出等角：因为 ∠ACD + ∠BCD = 90°，而在 Rt△BCD 中 ∠B + ∠BCD = 90°，所以 ∠ACD = ∠B（同角的余角相等，见「多垂直倒角」单元）。

于是：

• △ACD 与 △CBD 中，∠ADC = ∠CDB = 90°，∠ACD = ∠B，所以 △ACD ∽ △CBD；
• 同理 △ACD ∽ △ABC、△CBD ∽ △ABC。

由 △ACD ∽ △CBD 得 AD : CD = CD : BD，化成乘积式就是 CD² = AD × BD。 由 △ACD ∽ △ABC 得 AC : AB = AD : AC，即 AC² = AD × AB；同理 BC² = BD × AB。

例题应用

母子相似是求"斜边上的高、直角边长度"最快的路径，也常用来证明线段的平方关系。

1. 确认图形是直角三角形，且高作在斜边上。
2. 找出斜边上被高分出的两段（AD 与 BD）与整条斜边 AB = AD + BD。
3. 要求高就用 CD² = AD × BD；要求直角边就用 AC² = AD × AB 或 BC² = BD × AB。
4. 遇到"证明某线段的平方等于两线段之积"的题，优先考虑把三条线段放进同一个母子相似图形里。

互动练习