飞镖模型：凹顶点处的角等于另外三角之和

问题引入

在三角形 ABC 内部随便取一点 O，连接 OB、OC。

这时四边形 ABOC 在 O 处凹进去了，形状像一支飞镖（也叫箭头模型）。奇怪的是：凹进去那个角，恰好等于另外三个角加在一起。

这是巧合，还是必然？

动态观察

拖动三角形的三个顶点 A、B、C，再拖动内部的 O（它被限制在三角形内部，无法拖出去）。

1. 拖动 O，看它在三角形内部移动时侧栏各行读数怎么变。
2. 拖动 A、B、C 改变三角形的形状，注意 ∠BOC 与另外三个角之和的关系。
3. 勾选侧栏的「显示辅助线 AO 延长交 BC 于 D」，对照原理解释里的两个外角。

规律发现

无论把 O 拖到哪里、无论三角形什么形状，下面这个等式都成立：

其中 ∠A 就是 ∠BAC，而 ∠ABO、∠ACO 是飞镖在 B、C 两处的角。

原理解释

只加一条辅助线：连接 AO 并延长，交 BC 于点 D。

• 在 △ABO 中，∠BOD 是顶点 O 处的外角，由外角定理得 ∠BOD = ∠BAO + ∠ABO；
• 在 △ACO 中，同理 ∠DOC = ∠OAC + ∠ACO。

把两式相加，左边正好拼成 ∠BOC，右边拼成三个角：

因为 O 在三角形内部，射线 OD 一定落在 ∠BOC 的内部，所以两式可以放心相加。整条推理只用了一次三角形外角定理，不需要内角和。

例题应用

飞镖模型常用于「已知三个角求第四个角」的填空选择，也常出现在复杂图形里作为倒角的一步。

1. 先确认图形是不是飞镖：有一个凹顶点，且它落在某个三角形的内部。
2. 找准凹顶点处的角，以及另外三个角分别是谁。
3. 代入 ∠BOC = ∠A + ∠ABO + ∠ACO，缺哪个求哪个。
4. 求出的角若还要继续用，再代进相邻的三角形或下一组模型。

互动练习