问题引入
随便画一个四边形，把四条边的中点依次连起来。
不管原来的四边形长什么样——规则的、歪斜的、甚至凹进去的——得到的这个"中点四边形"永远是平行四边形。这是中位线定理最漂亮的应用之一。
动态观察
拖动原四边形的四个顶点 A、B、C、D（它们完全自由，甚至可以拖成凹四边形）。
- 拖动 A、B、C、D，把原四边形拉成各种形状。
- 盯住中间那个由中点连成的四边形 EFGH，看它是否始终保持平行四边形。
- 对照侧栏的 EF 与 HG、EH 与 FG，看两组对边是否始终相等。
- 注意 EF 与对角线 AC 的关系（虚线），它同时给出了平行与一半。
规律发现
设 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，则 EFGH 是平行四边形，并且：
顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是什么形状？
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一定是平行四边形。无论原四边形是凸的还是凹的，中点四边形的两组对边都分别平行于原四边形的两条对角线，所以两组对边分别平行。
原理解释
只用三角形中位线定理，连两次：
- 在 △ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，所以 EF ∥ AC 且 EF = ½ AC；
- 在 △ACD 中，H、G 分别是 AD、CD 的中点，所以 HG ∥ AC 且 HG = ½ AC。
于是 EF ∥ HG 且 EF = HG——一组对边平行且相等，所以四边形 EFGH 是平行四边形。同理用对角线 BD 也能得到 EH ∥ FG 且 EH = FG。
顺带得到两条常用推论：
- 若原四边形的对角线相等（AC = BD），则 EF = EH，中点四边形是菱形；
- 若原四边形的对角线互相垂直，则 EF ⊥ EH，中点四边形是矩形；
- 两者都满足时，中点四边形是正方形。
若四边形 ABCD 的两条对角线相等，则它的中点四边形是什么形状？（填两个字）
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中点四边形的四条边分别等于两条对角线的一半：EF = HG = ½AC，EH = FG = ½BD。若 AC = BD，则四条边都相等，所以中点四边形是菱形。
例题应用
中点四边形常与"求面积"或"判断形状"结合。
- 先标出四条边的中点，并画出原四边形的两条对角线（辅助线）。
- 用中位线定理写出平行与倍半关系。
- 判断形状时，把问题转化为对原四边形对角线的判断。
- 求面积时可用"中点四边形面积 = 原四边形面积的一半"这一结论（可由分割证明）。
在四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点。关于 EF 的结论正确的是？
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E、F 是 △ABC 中两边 AB、BC 的中点，所以 EF 是 △ABC 的中位线，它平行于第三边 AC 且等于 AC 的一半。注意第三边是 AC（对角线），不是 BC。
互动练习
若四边形 ABCD 的两条对角线互相垂直，则它的中点四边形是什么形状？
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中点四边形的边分别平行于两条对角线（EF ∥ AC、EH ∥ BD），所以两邻边的夹角等于两条对角线的夹角。对角线互相垂直时这个夹角是 90°，中点四边形有一个直角，再加上它本身是平行四边形，所以是矩形。
在本单元的画板上，把原四边形拖成一个凹四边形（有一个顶点凹进去），观察中点四边形是否仍然是平行四边形。如果能，再试着让它面积最大与最小。
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参考结论：仍然是平行四边形。证明过程只用到"E、F、H、G 分别是各边中点"这一条件与三角形的中位线定理，对原四边形是否凸起没有任何要求。至于面积，中点四边形的面积恒等于原四边形面积的一半（把原四边形沿一条对角线分成两个三角形，每个三角形里的中位线都切掉四分之一的面积），所以它会随原四边形一起变大变小，但比例不变。