问题引入
已知线段 BD，点 C 在线段 BD 上，A、E 在 BD 上侧且分居左右。拖动 C，并调节公共角 α，观察 ∠ABD = ∠ACE = ∠EDB 时，△ABC 与 △CED 为什么相似。
当 B、C、D 三点共线，且出现三个相等角时，常能制造两组三角形相似，是中考相似模型中的高频结构。
动态观察
- 拖动底边上的 C，保持 C 在线段 BD 上。
- 拖动滑块调节公共角 α，图形会始终保持 ∠ABD = ∠ACE = ∠EDB。
- 拖动滑块调节 AB 的长度，观察相似比例如何变化。
侧栏的「公共角 α」与「AB 长度」两条滑块控制图形：前者让三个相等角同时变化，后者改变左侧三角形的腰长。
规律发现
无论怎么拖动 C、怎么调节 α 和 AB 的长度，侧栏「实时验证」里的读数都会显示：
- ∠ABD、∠ACE、∠EDB 三个角始终相等，都等于公共角 α；
- ∠ABC 与 ∠CDE 始终相等，∠ACB 与 ∠CED 始终相等；
- AB / CD、BC / DE、AC / CE 三个比值始终相等。
在 △ABC 与 △CDE 中，若 ∠ABD = ∠ACE = ∠EDB = α，则（ ）
查看答案
B、C、D 共线时 ∠ABC = ∠ABD = α，∠CDE = ∠EDB = α，所以 ∠ABC = ∠CDE；再借助 C 点直线上的邻补角又能推出 ∠ACB = ∠CED。两组角分别相等，所以 △ABC ∽ △CDE。两个三角形只是相似，边长一般并不相等，所以不是全等。
原理解释
- 因为 B、C、D 在同一直线上，所以 ∠ABC = ∠ABD = α。
- 同理，∠CDE = ∠EDB = α，于是 ∠ABC = ∠CDE。
- 在 C 点，CB 与 CD 是一条直线上的反向射线，所以 ∠ACB + ∠ACE + ∠ECD = 180°。
- 又因为 ∠ACE = α，而 △CDE 中 ∠CED = 180° - α - ∠ECD。
- 因此 ∠ACB = ∠CED。两组角分别相等，所以两个三角形相似。
也就是说：一线（B、C、D 共线）先给出第一组等角 ∠ABC = ∠CDE，再用这一线上的邻补角把第二组等角 ∠ACB = ∠CED 换出来，两次「两角分别相等」，相似就成立了。
例题应用
- 先确认 B、C、D 共线。
- 标出三个相等角，尤其是 ∠ABD、∠ACE、∠EDB。
- 借助直线上的邻补角，把另一组角也转化出来。
- 得到 △ABC ∽ △CDE，再用对应边成比例解题。
互动练习
一线三等角模型中，若 ∠ACE = 42°，则 ∠ABD = ______°。
查看答案
三个角都等于公共角 α，即 ∠ABD = ∠ACE = ∠EDB = α，所以 ∠ABD = 42°。把 α 滑块拖到 42 时，侧栏的「∠ABD / ∠ACE / ∠EDB」一行也会同时显示 42.00° / 42.00° / 42.00°。
一线三等角模型中，判定 △ABC ∽ △CDE 用到的判定方法是（ ）
查看答案
由 B、C、D 共线得 ∠ABC = ∠ABD = α，由 A、E 同在 BD 上侧得 ∠CDE = ∠EDB = α，于是 ∠ABC = ∠CDE；再由 C 点的邻补角推出 ∠ACB = ∠CED。两组角分别相等，用的是「两角分别相等的两个三角形相似」（AA）。