问题引入
等腰三角形里有一条很特别的结论：从顶角出发，角平分线、底边上的中线、底边上的高，其实是同一条线。
不是三条线恰好画在一起，而是它们本来就是一条。反过来也成立：只要其中两条重合，这个三角形就是等腰三角形——这条逆用是中考判定等腰的常用手段。
动态观察
底座 BC 固定在一条水平线上，拖动 A 左右移动，同时注意三条虚线：中线 AM、高 AD、角平分线 AE。
- 拖动 A 左右移动，观察 AM（中线）、AD（高）、AE（角平分线） 三条虚线。
- 盯住侧栏的 AB 与 AC 两行读数，找出它们相等时 A 的位置。
- 勾选侧栏的「让 AB = AC」，看三条线如何合成一条；再拖开 A，看它们如何分家。
规律发现
当且仅当 AB = AC（也就是三角形是等腰三角形）时，三条线重合：
等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高之间是什么关系？
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三线合一：它们是同一条线段。所以等腰三角形中只要作出其中一条，另外两条也就同时得到了。
原理解释
设 △ABC 中 AB = AC，AD ⊥ BC，垂足为 D。
- 在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中：AB = AC（已知），AD = AD（公共边），∠ADB = ∠ADC = 90°；
- 由 HL 判定（斜边、一条直角边分别相等）得 △ABD ≌ △ACD；
- 于是 BD = DC（D 是 BC 中点，AD 是中线），且 ∠BAD = ∠DAC（AD 平分顶角）。
两条结论一次性都出来了，这就是三线合一的由来。
反过来也成立：若 AD ⊥ BC 且 AD 平分 ∠BAC，则 ∠BAD = ∠DAC、∠ADB = ∠ADC = 90°、AD 公共，由 ASA 得 △ABD ≌ △ACD，所以 AB = AC——角平分线与高重合的三角形必是等腰三角形。
在 △ABC 中，AD ⊥ BC，垂足为 D，且 AD 平分 ∠BAC。可以推出什么结论？
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角平分线与高重合，由 ASA 得 △ABD ≌ △ACD，所以 AB = AC，即三角形是等腰三角形（这是三线合一的逆用）。注意结论是两腰相等，与底边、直角都无关。
例题应用
三线合一最常见的用法是「已知等腰，直接用另外两条线」——把中线、高、角平分线互相替换，省去一次全等证明。
- 先确认三角形是等腰，并找准顶角与底边。
- 题目若给了底边上的高，就直接当作中线与角平分线使用。
- 需要 BD = DC 时用中线，需要 ∠BAD = ∠DAC 时用角平分线。
- 若题目反过来给的是"高 + 角平分线"，则用逆用结论判定等腰。
等腰三角形 ABC 中，AB = AC，底边 BC = 10，作顶角平分线交 BC 于 D，则 BD 等于多少？（只填数字）
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由三线合一，顶角平分线 AD 也是底边上的中线，所以 D 是 BC 的中点，BD = ½ × 10 = 5。
互动练习
只观察到「底边上的中线与底边上的高重合」，能否判定这个三角形是等腰三角形？
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能。中线与高重合说明 D 既是中点又满足 AD ⊥ BC，于是 AD 是 BC 的垂直平分线，由「线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等」得 AB = AC，即为等腰三角形。所以三线合一的逆用不需要三条都重合，任意两条重合就够了。
把 A 拖到使三角形变成很"扁"或很"瘦"的形状，观察三条线分开的程度如何变化。你觉得差异最大会出现在什么情形？
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参考结论：三条线分开的程度由 |AB − AC| 决定——两边差得越多，中线、高、角平分线分得越开；当 A 在中点正上方时差为 0，三条线完全重合。在保持底边不变的前提下，A 偏离中点越远，差异越大，这也正是三线合一只能对等腰三角形成立的原因。