三角形欧拉线

问题引入

外心 O、重心 G、垂心 H 是三角形四心中的三个。它们分别由三边的垂直平分线、三条中线、三条高交出，位置看起来互不相干。

但在任意非等边三角形中，外心 O、重心 G、垂心 H 三点共线，这条直线叫欧拉线。它把三角形四心中的三个联系了起来。

任意画一个三角形，O、G、H 一定落在同一条直线上吗？这条直线又把 OH 分成了怎样的两段？

动态观察

拖动 A、B、C 改变三角形形状，观察外心 O、重心 G、垂心 H 是否始终在同一直线上，以及 HG 与 GO 的长度关系。

1. 拖动 A、B、C 改变三角形形状。
2. 观察外心 O、重心 G、垂心 H 是否始终共线。
3. 比较 HG 与 GO 的长度，验证 HG = 2GO。

侧栏的「三角形类型约束」可以再把三角形锁成等腰、直角或等边，用来检验结论在特殊三角形中同样成立；「构造线显示」则用来分别查看外心、重心、垂心是由哪些虚线交出来的。

规律发现

无论怎么拖，外心 O、重心 G、垂心 H 都落在同一条直线上，而且 G 总在 O 与 H 中间：侧栏的「HG : GO」始终是 2 : 1，「O、G、H 是否共线」与「G 是否在 O 与 H 中间」也一直显示「是」。

原理解释

在任意非退化三角形中，外心 O、重心 G、垂心 H 三点共线，这条直线叫做三角形的欧拉线。

也就是说，从外心 O 走向垂心 H，重心 G 总在三分之一处；从 H 到 G 的距离是从 G 到 O 的 2 倍。

观察颜色分段：绿色的 G 始终位于蓝色 O 与紫色 H 之间，紫色 HG 段是蓝色 GO 段的 2 倍。等价地说，G 把线段 OH 按 OG : GH = 1 : 2 分割。

例题应用

先自己动手把三条线找出来，再验证欧拉线：

1. 分别构造外心 O、重心 G、垂心 H。
2. 拖动三角形观察 O、G、H 始终落在同一直线上。
3. 比较 GO 与 GH 的长度。
4. 可以发现 G 在 OH 上，并满足 GH = 2GO。

在 △ABC 中，O 是外心，G 是重心，H 是垂心，三点共线。已知 GO = 3，求 HG 与 OH。

1. 由 HG : GO = 2 : 1，其中 HG 是 2 份、GO 是 1 份。
2. 所以 HG = 2 × 3 = 6。
3. OH = HG + GO = 6 + 3 = 9。
4. 检验：HG : GO = 6 : 3 = 2 : 1。

互动练习