问题引入
按照上北下南、左西右东的方向，有两条东西向平行的河岸 l₁、l₂。为了造桥最经济，桥 EF 必须垂直于 l₁、l₂，此时桥长等于河宽。村庄 P、Q 分别在两岸外侧，修桥时需要在两岸各选一个桥头点 E、F，使经过桥的线路 PEFQ 尽量短。
动态观察
拖动北岸外的村庄 P 和南岸外的村庄 Q；拖动桥的两端点 E、F，它们始终分别落在 l₁ 和 l₂ 上，且 EF 垂直于两岸。留意灰色虚线是证明辅助线：平移点 P′、桥位 E₀、F₀ 与直线 P′Q。
- 拖动北岸外的村庄 P 和南岸外的村庄 Q。
- 拖动桥的两端点 E、F，它们始终分别落在 l₁ 和 l₂ 上，且 EF 垂直于两岸。
- 观察当前路径 PE + EF + FQ 和最短路径的差值。
- 灰色虚线是证明辅助线：平移点 P′、桥位 E₀、F₀ 与直线 P′Q。
规律发现
桥的两端 E、F 始终竖直对齐，所以无论怎么拖，桥长 EF 都等于河宽，是路径中不变的一段。 真正在变的是两头的 PE 与 FQ： 只有当桥位落在绿色虚线所在的 E₀F₀ 处时，「差值」一行才显示 0，此时 PE + EF + FQ 最短。
把 P 沿垂直河岸的方向平移一个河宽得到 P′，线段 PP′ 的长度等于什么？
查看答案
平移的方向和距离都由桥决定：桥 EF 垂直两岸、长度就是河宽， 所以 P 沿 EF 的方向平移了一个河宽，PP′ = EF = 河宽。
原理解释
平移性质： 将 P 沿桥 EF 的方向平移一个河宽到 P′，则 PE = P′F。
两点之间线段最短： P′F + FQ ≥ P′Q，当且仅当 P′、F、Q 共线时取等号。
下界可达，方案最优： 连接 P′Q，它与河岸 l₂ 交于 F₀，过 F₀ 作河岸垂线，交另一岸 l₁ 于 E₀。这时 E₀F₀ 就是所求桥梁，路径 PE₀ + E₀F₀ + F₀Q 最短。
例题应用
先在两岸各取一个桥头点，使 PEFQ 最短，再说明桥 EF 必须垂直于河岸。
- 平移 P： 将点 P 沿着垂直河岸方向，向对岸平移一个河宽，得到点 P′。
- 确定方向： 平移方向和桥 EF 同向，即从 l₁ 指向 l₂。
- 连接取交点： 连接 P′Q，记其与河岸 l₂ 的交点为 F₀。
- 作垂线定桥： 过 F₀ 作河岸垂线，交另一岸 l₁ 于 E₀。
- 得到最优桥： 此时 E₀F₀ 即为所求桥梁，路径 PE₀ + E₀F₀ + F₀Q 最短。
互动练习
最优桥位 F₀ 是怎么确定的？
查看答案
把 P 平移到 P′ 后，路径变成 P′F + FQ + EF。当 P′、F、Q 三点共线时 P′F + FQ 取得最小值 P′Q， 所以 F₀ 就是直线 P′Q 与河岸 l₂ 的交点，再过 F₀ 作垂线交 l₁ 于 E₀ 即得桥梁。
把桥位 E、F 拖到理论最优位置 E₀、F₀ 处，「差值」一行显示多少？
查看答案
此时后两项与最优解完全相同，PE + EF + FQ = P′Q + EF，两者之差为 0。
拖动桥的两端点 E、F 时，桥长 EF 会怎样变化？
查看答案
E 在 l₁ 上、F 在 l₂ 上，两点始终竖直对齐，所以 EF 恒等于两岸间的距离即河宽，不随桥位改变。