婆罗摩笈多公式：圆内接四边形的面积

问题引入

三角形的三条边一旦确定，面积就确定了（海伦公式）。四边形没有这么好的性质：四条边相同的四边形可以压扁、拉长，面积会变。

但如果这个四边形内接于圆，面积又被四边唯一确定了——这就是婆罗摩笈多公式。

动态观察

拖动圆周上的 A、B、C、D，对照侧栏的两行面积读数。

1. 拖动 A、B、C、D，改变四边形的形状与四条边的长度。
2. 对照 实测面积 与 公式计算值 两行，看它们是否始终相等。
3. 注意 半周长 s 一行——公式只用到四条边与 s，不需要任何角度。

规律发现

设圆内接四边形 ABCD 的四条边为 a、b、c、d，半周长 s = (a+b+c+d) ÷ 2，则：

原理解释

为什么必须共圆？因为四边形不共圆时可以自由变形：

• 给定四条边，能画出无穷多个四边形，它们的面积不同（把四边形沿着一条对角线"折"一下就会变）；
• 只有当四点共圆时，对角互补这一条件把形状"锁死"，面积才由四边唯一决定。

公式本身可由托勒密定理与三角形面积公式推出：把四边形沿一条对角线分成两个三角形，用海伦公式分别算面积，再用托勒密定理消去对角线，最终化简易得。

例题应用

婆罗摩笈多公式在"已知四边求面积"时最省事，也常用来解决"面积最大值"问题。

1. 确认四边形内接于圆（题目给出，或由对角互补推出）。
2. 写出四条边，算出半周长 s。
3. 代入 S = √((s−a)(s−b)(s−c)(s−d))。
4. 若题目问"四条边给定时的最大面积"，答案就是套公式的这个值——因为圆内接时面积最大。