对称半角模型

问题引入

锐角三角形 ABC 中，过 A 作 BC 的垂线 AD，垂足为 D。把 D 分别关于 AB、AC 对称到 E、F， 再把 A、E、F 连起来，会得到一个什么形状的三角形？它的顶角与原三角形的顶角又有什么关系？

动态观察

拖动 A 改变三角形的高度和顶角大小，拖动 B、C 让它们沿水平底边左右移动。 留意虚线 AE、AF、EF 围成的三角形 AEF。

1. 拖动 A，改变三角形高度和顶角大小。
2. 拖动 B、C，它们只能沿水平底边左右移动，保持 BC 平行于底边。
3. D 是从 A 向 BC 作垂线的垂足。
4. E、F 分别是 D 关于 AB、AC 的对称点。

规律发现

无论怎么拖，都有 AE = AF，所以 △AEF 是等腰三角形；它的顶角恰好是原三角形顶角的两倍。

原理解释

1. D 关于 AB 对称到 E，且 A 在对称轴 AB 上，所以 AE = AD。
2. D 关于 AC 对称到 F，且 A 在对称轴 AC 上，所以 AF = AD。
3. 因此 AE = AF，△AEF 是等腰三角形。
4. 对称把两侧小角各复制一次，所以 ∠EAF = 2∠BAC。

对称半角模型通过把垂足（或角内的点）关于角的两边对称，制造等腰三角形和倍角关系， 常用于角度与线段证明。

例题应用

以图中的三角形为例，说明 AE = AF 与 ∠EAF = 2∠BAC 是怎么推出来的。

1. 先从 A 向 BC 作垂线 AD。
2. 把 D 分别关于 AB、AC 对称到 E、F。
3. 由轴对称可得 AE = AD = AF。
4. 同时 ∠EAB 与 ∠BAD 相等，∠DAC 与 ∠CAF 相等，从而得到半角或倍角关系。

互动练习