费马点：到三个顶点距离之和最小的点

问题引入

要在三角形内部修一个供水站，使得到三个村庄（三角形的三个顶点）的管道总长最短。这个点在哪里？

它就是费马点。一个出人意料的结果是：这个点对三条边的张角都恰好是 120°。

动态观察

拖动 P 在三角形内移动，观察 PA + PB + PC 的变化；再按下"移到费马点"。

1. 拖动 P 到处乱走，盯住 PA + PB + PC 一行，找到你能做到的最小值。
2. 再勾选侧栏的「移到费马点」，看它把你带到的位置有什么特点。
3. 观察此时 ∠APB、∠BPC、∠CPA 三行读数。
4. 拖动三角形的顶点改变形状，费马点会跟着移动。

规律发现

当三角形的每个内角都小于 120° 时，费马点在三角形内部，并且：

它使 PA + PB + PC 取得最小值。若三角形有一个角大于或等于 120°，则最小点就是那个角的顶点。

原理解释

用旋转 60° 可以把三条线段"拉直"到一条线上：

• 以 AB 为边向外作等边三角形 ABC′（把 △APB 绕 B 旋转 60°）；
• 旋转后 PB 变成 P′B，而 △BPP′ 是等边三角形，所以 PP′ = PB；
• 于是 PA + PB + PC = P′A′ + PP′ + PC（其中 A′ 是 A 旋转后的像）；
• 这三段首尾相接，当它们共线时和最小——最小值就是线段 A′C 的长度。

共线的条件恰好给出 ∠APB = ∠BPC = 120°。这也是"向外作等边三角形、连一条线段即可求得最小值"这一解法的由来。

例题应用

费马点题的两种问法：

1. 问"最小距离和是多少"：向外作等边三角形，把三条线段拉直，答案就是新连出的那条线段长度。
2. 问"这个点在哪里"：答"对各边张角均为 120° 的点"（三角形各角 < 120° 时）。
3. 若三角形有角 ≥ 120°，直接答该顶点。
4. 求长度时常用勾股定理或余弦定理，把新线段的长度算出来。