三角形两边之和大于第三边

问题引入

任意三条线段都能组成三角形吗？

把其中一条拉得特别长，或者把两条短边缩短到接不住第三边，会怎么样？

动态观察

拖动三个滑块，改变 AB = a、AC = b、BC = c 三条线段的长度， 观察以 B 为圆心、a 为半径的红圆与以 C 为圆心、b 为半径的紫圆是否相交。

1. 拖动三个滑块，改变 AB = a、AC = b、BC = c。
2. 观察以 B、C 为圆心的两个圆是否相交。
3. 两个圆有交点时，可以闭合成三角形；没有交点时，三条线段不能组成三角形。

规律发现

只要两个圆相交，就能找到点 A，使 AB = a 且 AC = b，三条线段围成一个三角形； 这时侧栏「实时判断」的四行同时成立：

• a + b > c
• a + c > b
• b + c > a
• |a − b| < c

只要有一行不成立，三条线段就闭合成不了三角形。

原理解释

如果三条线段能组成三角形 ABC，那么从 B 到 C：

这就是 a + b > c。同理可得任意两边之和都大于第三边。

由 a + c > b 可推出 c > b − a；由 b + c > a 可推出 c > a − b。合起来就是：

也就是说，「两边之和大于第三边」与「两边之差小于第三边」是同一件事的两种说法。

例题应用

三条线段能否组成三角形，关键看最长边是否小于另外两边之和。动画用两个圆的交点表示第三个顶点是否存在。

1. 固定一条边 BC。
2. 分别以 B、C 为圆心，以另外两条边为半径作圆。
3. 两个圆相交时，交点就是顶点 A，可以组成三角形。
4. 两个圆不相交或相切时，对应两边之和不大于第三边，不能形成真正三角形。

不能组成三角形时，画板会给出两种情形之一：a + b ≤ c 表示两条短边接不住第三边； |a − b| ≥ c 表示一条边太长，另一条边差距不够。

互动练习