问题引入
A 字型相似要靠"平行"，但有时候题目里根本没有平行线，只是两个三角形共用一个角。
这时仍然有一个漂亮的结论：面积比等于夹这个角的两边乘积之比。因为图形像鸟头，习惯上叫鸟头模型。
动态观察
拖动 D（在 AB 上）与 E（在 AC 上），注意 DE 一般不平行于 BC。
- 拖动 D、E，随便摆出各种位置，让 DE 明显不平行于 BC。
- 对照侧栏的 面积比 与 (AD × AE) ÷ (AB × AC) 两行，看它们是否始终相等。
- 特别试一下 D 或 E 非常靠近 A 的位置，验证结论在极端情形下依然成立。
规律发现
两个三角形共用一个角（这里是 ∠A），则：
在 △ABC 中，D 在 AB 上、E 在 AC 上。若 AD : AB = 1 : 2、AE : AC = 1 : 2，则 S△ADE : S△ABC 等于多少？
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由共角定理，面积比 = (AD × AE) : (AB × AC) = (1 × 1) : (2 × 2) = 1 : 4。注意是两个比的乘积，不是 1 : 2。
原理解释
把两个三角形的面积都用"两边夹一角"表示：
- S△ADE = ½ × AD × AE × sin∠A；
- S△ABC = ½ × AB × AC × sin∠A。
两式相除，½ 与 sin∠A 都被约掉，只剩下两边的乘积之比：
只要两边的夹角相等（或互补），sin 值就相同，结论都成立——这正是它与 A 字型的根本区别：不需要平行，也不需要相似。
在 △ABC 中，D 在 AB 上、E 在 AC 上。若 AD : AB = 1 : 3、AE : AC = 1 : 3，则 S△ADE : S△ABC 等于 1 : ?（只填数字）
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面积比 = (1 × 1) : (3 × 3) = 1 : 9，所以填 9。
例题应用
鸟头模型常用来快速算出面积比，尤其是题目给了两边上的比例、却没有任何平行条件的时候。
- 找出两个三角形的公共角（或一组相等、互补的角）。
- 分别写出夹这个角的两条边。
- 把两个三角形的面积比写成两边乘积之比。
- 代入已知比例求解；若还要求具体面积，再把其中一个面积设成已知量。
鸟头模型给出的面积比等于什么？
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面积比等于夹等角的两条边乘积之比。这是因为两个三角形的面积都可以写成 ½ × 边 × 边 × sin(夹角)，相除后 ½ 与 sin 值都约掉。
互动练习
使用鸟头模型时，需要两个三角形相似吗？
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不需要。共角定理只要求夹角的 sin 值相同（角相等或互补），与是否相似、是否平行都无关。反过来，A 字型相似（需要平行）可以看成它的一个特例。
在本单元的画板上，把 D 拖到 AB 的中点、E 拖到 AC 的中点，此时 DE 变成什么线？面积比是多少？再把这与「中位线」的结论对照一下。
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参考结论：D、E 都是中点时，DE 是中位线，此时它平行于 BC，图形同时满足 A 字型相似与共角定理。面积比 = (1 × 1) : (2 × 2) = 1 : 4，与 A 字型「面积比 = 相似比的平方」（相似比 1 : 2 → 面积比 1 : 4）完全一致——两条路径殊途同归。