三角形外心

问题引入

外心是三角形外接圆的圆心。凡是到三个顶点距离相等的点，都应联想到垂直平分线。

在三角形 ABC 中，三边的垂直平分线会不会交于一点？如果交于一点，这个交点到三个顶点的距离又有什么关系？

动态观察

拖动 A、B、C 改变三角形形状，观察三条垂直平分线是否始终经过绿色点 O。

1. 拖动 A、B、C 改变三角形形状。
2. 观察三条边的垂直平分线是否始终经过绿色点 O。
3. 尝试拖成钝角三角形，看看外心是否会跑到三角形外。

侧栏的「三角形类型约束」可以再把三角形锁成等腰、直角或等边，用来检验结论在特殊三角形中同样成立。

规律发现

无论怎么拖，三条垂直平分线都交于同一点 O，而且 OA = OB = OC 始终成立；侧栏的「外接圆半径 R」也一直和 OA 相等。

外心不一定在三角形内部：锐角三角形的外心在三角形内，钝角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心落在斜边中点。

原理解释

线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。三条垂直平分线的交点 O 同时满足 OA = OB = OC。

所以以 O 为圆心、R 为半径作圆，圆会经过 A、B、C 三个顶点，这个圆就是三角形的外接圆。

1. 作三边的垂直平分线。
2. 垂直平分线上的点到线段两端距离相等。
3. 三条垂直平分线交于 O，因此 OA = OB = OC。
4. 以 O 为圆心、OA 为半径即可作出三角形外接圆。

例题应用

在 △ABC 中，O 是外心，外接圆半径 R = 5。

1. 外心到三个顶点的距离都等于外接圆半径，所以 OA = OB = OC = 5。
2. 反过来，只要 OA = OB = OC，以 O 为圆心、这个公共长度为半径的圆就会同时经过 A、B、C 三点。
3. 若再把三角形锁成直角三角形（∠A = 90°），外心会落在斜边 BC 的中点，此时 R = BC ÷ 2，所以 BC = 2R = 10。
4. 检验：斜边 BC = 10，中点 O 到 B、C 的距离都是 5，正好等于外接圆半径 R。

互动练习