直径所对的圆周角是直角

问题引入

圆里最常用的一条结论是：只要看到直径，就能得到一个直角。

反过来也成立：只要圆周角是 90°，它对着的那条弦就是直径。这两句在圆的计算与证明题里出现频率极高。

动态观察

AB 是圆的一条固定直径，C 在圆周上自由滑动。

1. 拖动 C 沿圆周移动，盯住 ∠ACB 一行读数。
2. 再对照 AC² + BC² 与 AB² 两行，看它们是否始终相等。
3. 把 C 拖到使 AC = BC 的位置，看看此时三角形是什么形状。

规律发现

设 AB 是 ⊙O 的直径，C 是圆上异于 A、B 的任意一点，则：

于是 △ABC 始终是直角三角形，AC² + BC² = AB²。

原理解释

由圆周角定理：圆周角等于它所对弧的一半。

• ∠ACB 所对的弧是半圆（AB 是直径，把圆分成两个半圆）；
• 半圆对应的圆心角是 180°，所以 ∠ACB = ½ × 180° = 90°。

反过来，若某圆周角为 90°，它对的弧就是 180°，也就是半圆，因此那条弦必是直径。

例题应用

这条结论最典型的用法是在圆里就地造出直角三角形，然后用勾股定理或锐角三角函数算长度。

1. 见到直径，立刻在圆周上找一个点（或补出一个点）连出直角三角形。
2. 标出直角与已知边、已知角。
3. 用勾股定理或三角函数求未知线段。
4. 若题目给的是直角，则反过来断定某条弦是直径，进而用直径的性质。