胡不归模型

问题引入

动点 P 在定直线 l 上运动，如何求 PA + k·PB（0 < k < 1）的最小值？

动态观察

拖动直线 l 上的 P，比较不同位置的 PA + k·PB。拖动 P，切换 k， 看看如何把 k·PB 转成垂线段 PQ。

1. 拖动直线 l 上的 P，比较不同位置的 PA + k·PB。
2. 拖动 A 或 B，观察最小值点如何变化。
3. 选择不同系数 k，自动得到对应锐角 θ。
4. 绿色点 P₀ 是理论上的最小值点。

规律发现

切换不同的 k 时，垂足 Q 会同步移动，PQ 始终等于 k·PB。 右侧「当前差值」一行实时显示 PA + k·PB 与最小值点 P₀ 处取值的差距， 把 P 拖到 P₀ 时它会变成 0。

原理解释

先取锐角 θ 使 sinθ = k，再在 B 的异于 A 一侧作射线 BD， 让 ∠DBl = θ。

于是原式变成 PA + PQ。当 A、P₀、Q₀ 共线时，折线化直线，长度最短。

例题应用

胡不归模型解决 PA + k·PB（0 < k < 1）的最小值。它把“带系数的路程”折算成垂线段， 来源于慢路、快路的路程折算思想。

1. 由系数 k 取锐角 θ，使 sinθ = k。
2. 过 B 在异于 A 的一侧作射线 BD，使它与定直线 l 的夹角为 θ。
3. 过动点 P 向 BD 作垂线，垂足 Q，则 PQ = PB·sinθ = k·PB。
4. 原式变为 PA + PQ；当 A、P、Q 共线且垂直 BD 时取得最小值。

互动练习