角内两定点周长最小

问题引入

已知角 ∠AOB，角内有两个定点 M、N。点 E 在 AO 上，点 F 在 BO 上，求四边形 MNFE 的周长最小值。

动态观察

拖动 A、O、B 可以改变角 ∠AOB 的形状和位置；拖动角内两定点 M、N，观察最优的 E、F 如何变化。 拖动 E、F，它们始终分别落在 AO 和 BO 上。绿色点 E₀、F₀ 是理论最优位置， 把 E、F 拖到 E₀、F₀ 上，「差值」一行会变成 0。

1. 拖动 A、O、B，改变角 ∠AOB 的形状和位置。
2. 拖动角内两定点 M、N，观察最优桥位如何变化。
3. 拖动 E、F，它们始终分别落在 AO 和 BO 上。
4. 绿色点 E₀、F₀ 是理论最优位置。

规律发现

把 M 关于 AO 作对称点 M₁，把 N 关于 BO 作对称点 N₁。因为 E 在 AO 上、F 在 BO 上， 所以 ME = M₁E，NF = FN₁。于是 M→E→F→N 这条折线被搬成了 M₁→E→F→N₁， 当 M₁、E、F、N₁ 四点共线时，折线路径最短。

原理解释

四边形的四条边 MN、ME、EF、FN 中，MN 与 E、F 的位置无关，其余三条换成等长的线段：

把 M 翻到 AO 的另一侧、把 N 翻到 BO 的另一侧，原来的折线路径就被拉成了一条直线：

1. 作点 M 关于 AO 的对称点 M₁。
2. 作点 N 关于 BO 的对称点 N₁。
3. 因为 E 在 AO 上，所以 ME = M₁E；因为 F 在 BO 上，所以 NF = FN₁。
4. 于是周长 MN + ME + EF + FN 转化为 MN + M₁E + EF + FN₁。
5. 根据两点之间线段最短，M₁E + EF + FN₁ ≥ M₁N₁。
6. 当 M₁、E、F、N₁ 共线时取等号，最小周长就是 MN + M₁N₁。

这个模型里有两个被限制在角边上的点 E、F，所以要分别把两端的定点 M、N 翻到另一侧， 两次翻折后折线被拉直。

互动练习