两定点 + 两定长型

问题引入

村庄 P、Q 隔着两条互不平行且不相交的河道。河道 R1 的两岸为 l₁、l₂，且 l₁ ∥ l₂；河道 R2 的两岸为 l₃、l₄，且 l₃ ∥ l₄。河道 R1 上架桥 EF ，河道 R2 上架桥 MN ，两座桥都必须垂直各自河岸且长度等于对应河宽：EF = d₁，MN = d₂。

路线顺序固定为 P → E → F → M → N → Q。怎样选择两座桥的位置，才能使全程最短？

动态观察

拖动桥位的 F、M 与两个村庄 P、Q ，观察路径如何变化；侧栏的「河宽调节」还能把 d₁、d₂ 改成别的值。

1. 固定路线顺序： P → E → F → M → N → Q。
2. 拖动 P、Q： 观察两个村庄变化时，最优桥位如何同步改变。
3. 拖动 F、M： F 始终在 l₂ 上，M 始终在 l₃ 上；E、N 会自动落在另一岸，且桥垂直河岸。
4. 调节河宽： 改变 d₁ = EF 或 d₂ = MN，观察两次平移方向和距离的变化。
5. 观察辅助线： 灰色虚线表示 P′、Q′ 和直线 P′Q′，绿色虚线表示理论最短路径。

规律发现

两座桥的长度都是常数：EF = d₁ ，MN = d₂ ，所以最短总路程等价于最小化 S = PE + FM + NQ 。

侧栏的读数把这件事显示出来：拖动 F、M 时「当前总长」L 不断变化，而「最短总长」始终是 P′Q′ + d₁ + d₂；把两座桥拖到 F₀、M₀ 处，「差值」变成 0.00。

原理解释

第一次平移： 把 P 沿第一座桥 EF 的方向，也就是垂直河岸 l₁ → l₂ 的方向，平移长度 d₁ 得 P′，则 PE = P′F 。

第二次平移： 把 Q 沿第二座桥的反方向 NM，也就是垂直河岸 l₄ → l₃ 的方向，平移长度 d₂ 得 Q′，则 NQ = MQ′ 。

核心结论： 当且仅当 P′、F、M、Q′ 共线时取等号。连接 P′Q′，它与 l₂ 的交点为 F₀，与 l₃ 的交点为 M₀，再还原两座垂桥，即得最优方案。

例题应用

作图解法：

1. 整理路线： 路线顺序固定为 P → E → F → M → N → Q。
2. 处理第一条河： 将点 P 沿向量 EF，也就是垂直河岸 l₁ → l₂ 的方向，平移长度 d₁，得到 P′。
3. 使用第一条平移恒等式： PE = P′F，因此 PE + FM = P′F + FM。
4. 处理第二条河： 将点 Q 沿向量 NM，也就是与过桥方向 MN 相反、垂直河岸 l₄ → l₃ 的方向，平移长度 d₂，得到 Q′。
5. 使用第二条平移恒等式： NQ = MQ′，因此 FM + NQ = FM + MQ′。
6. 连接定桥头： 连接 P′Q′，这条直线与 l₂ 交于 F₀，与 l₃ 交于 M₀。
7. 还原第一座桥： 过 F₀ 作 l₁ 的垂线交 l₁ 于 E₀，E₀F₀ 为第一座桥。
8. 还原第二座桥： 过 M₀ 作 l₄ 的垂线交 l₄ 于 N₀，M₀N₀ 为第二座桥。
9. 得到最短路径： 此时 P → E₀ → F₀ → M₀ → N₀ → Q 全程最短。

互动练习