问题引入
前面学过「拐点偏移守恒」：折线从一条平行线出发、到另一条平行线结束，左右偏转的角互相抵消。
但如果折线的两端落在同一条平行线上，中间连续拐好几个弯呢？这时结论完全变了：所有角加起来是一个定值，而且只跟拐点的个数有关。
动态观察
A、C 在同一条平行线 l₁ 上，中间是若干拐点。用下方的 n 滑块改变拐点个数，再拖动各个拐点。
- 拖动 n 滑块，让拐点个数在 1 到 3 之间变化，观察 所有角之和 一行读数。
- 拖动各个拐点（以及 A、C）改变图形形状，看总和是否保持不变。
- 特别留意 n = 1 时的图形：它其实就是什么形状？
规律发现
设折线两端 A、C 在同一条平行线上，中间有 n 个拐点，则这些角（两端各一个 + 每个拐点一个）的总和是：
n = 1 时是 180°（三角形），n = 2 时是 360°（四边形），n = 3 时是 540°（五边形）。
折线两端在同一条平行线上，中间有 2 个拐点，所有角之和是多少度？
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代入 180° × n = 180° × 2 = 360°。此时图形是一个四边形（两端点 + 两个拐点共 4 个顶点），内角和正是 360°。
原理解释
有两种看法，都要掌握：
看法一（通法）：过每个拐点作与已知平行线平行的辅助线。 这样每个拐角都被拆成两个部分，每一部分都能由内错角转移到两端与 l₁ 所成的角上。把所有的角按"上开"与"下开"分类相加，就能得到上面的公式。
看法二（本质）：它其实是一个多边形的内角和。 把折线 A—P₁—…—Pₙ—C 与平行线上的线段 CA 合起来看，得到一个 (n + 2) 边形。由多边形内角和公式：
两种看法得到的结论一致。平行线在这里的作用是给两端提供参照方向，让"两端与 l₁ 所成的角"能直接用内错角处理；而真正决定总和的是顶点个数。
折线两端在同一条平行线上，中间有 3 个拐点，所有角之和是多少度？（只填数字）
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180° × 3 = 540°。也可以验证：此时图形是一个五边形，内角和 = (5 − 2) × 180° = 540°。
例题应用
这类题在试卷上通常表现为"求某个角的度数"，做法是把已知角代进总和公式。
- 数清拐点个数 n，写出总和 180° × n。
- 把已知的角（两端的角、以及其余拐角）都列出来。
- 用"总和 − 已知角之和"算出要求的那个角。
- 若图形中还有平行线的内错角关系，可先用它把角等量代换，减少未知量。
在铅笔头模型（两端同线、2 个拐点）中，已知其中三个角，怎么求第四个角？
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总和是 180° × 2 = 360°（因为图形是四边形），所以用 360° 减去另外三个角的和即可。注意 360° 在这里来自"拐点数 × 180°"，而不是随便取的。
互动练习
铅笔头模型（所有角之和 = 180° × 拐点数）要求折线的两端处于什么位置？
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两端落在同一条平行线上。若两端分别落在两条平行线上，则是「拐点偏移守恒模型」的情形——那时结论变为"同向偏转角之和相等"，不再是定值 180° × n。
在本单元的画板上，把 n 设为 2，把两个拐点都拖到几乎贴着 l₁ 的位置，观察四个角各是多少、总和是否仍然是 360°。你能否把其中某个角拖到接近 180°？此时另外三个角会怎样？
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参考结论：总和始终是 360°。把某个拐点拖到接近 l₁ 时，该处的角趋近 180°（折线几乎被"拉直"），此时另外三个角之和趋近 180°——图形在这个极限下退化成三角形，正好与 n = 1 的情形接上。这说明公式 180° × n 在退化位置依然自洽。