问题引入
圆内接四边形有一个很整齐的等式：两条对角线的乘积，等于两组对边乘积之和。
它把四边形的六条线段（四条边 + 两条对角线）串在了一起——只要知道其中五条，第六条就能算出来。
动态观察
拖动圆周上的 A、B、C、D 四个点，盯住侧栏的两行读数。
- 拖动 A、B、C、D，把圆内接四边形拉成各种形状。
- 对照 AC × BD 与 AB × CD + AD × BC 两行，看它们是否始终相等。
- 把 D 拖到使四边形接近一条直线（退化），观察等式是否仍然成立。
规律发现
设 ABCD 内接于圆，则：
AC × BD = AB × CD + AD × BC
口诀是"对角线乘积 = 两组对边乘积之和"。
圆内接四边形 ABCD 中，AB = 3、BC = 4、CD = 3、AD = 4，则 AC × BD 等于多少？
查看答案
由托勒密定理 AC × BD = AB × CD + AD × BC = 3 × 3 + 4 × 4 = 9 + 16 = 25。注意题目问的是两条对角线之积，所以答案是 25；若再要求具体某条对角线，还需要更多条件。
原理解释
标准证法是构造相似：在对角线 AC 上取一点 E，使 ∠ABE = ∠DBC。
- 因为 ∠ABE = ∠DBC，且 ∠BAE = ∠BDC（同弧 BC 所对的圆周角），所以 △ABE ∽ △DBC， 得 AB ÷ BD = AE ÷ DC，即 AB × DC = BD × AE；
- 又由 ∠ABD = ∠EBC 与 ∠ADB = ∠ACB（同弧 AB）得 △ABD ∽ △EBC， 得 AD ÷ EC = BD ÷ BC，即 AD × BC = BD × EC；
- 两式相加：AB × CD + AD × BC = BD × (AE + EC) = BD × AC。
这个"在两对角线上取点、造两组相似"的手法，是证明乘积等式最常用的套路。
对于一般的（不共圆的）凸四边形，AC × BD 与 AB × CD + AD × BC 哪个更大？请填"大于"或"小于"。
查看答案
小于。托勒密不等式：对任意四边形都有 AC × BD ≤ AB × CD + AD × BC，等号当且仅当四点共圆。所以可以用它来判定四点是否共圆。
例题应用
托勒密定理在"已知四边求对角线"或"证明乘积等式"时特别好用。
- 先确认四点共圆（题目给出圆，或由对角互补推出）。
- 按顺序写出四条边与两条对角线，套入 AC × BD = AB × CD + AD × BC。
- 若给了角度或特殊形状（矩形、等腰梯形等），再结合其他性质把两条对角线联系起来。
- 遇到"判断是否共圆"的题，则反过来用：先算两边，比较是否相等。
在本单元的画板上，把 D 慢慢拖到接近 A 的位置（使四边形变得很扁），观察等式两端是否仍然相等。你能说出这个退化位置对应什么特殊情形吗？
查看答案
参考结论：仍然相等。D 趋近 A 时，AD → 0，等式退化为 AC × BD ≈ AB × CD，也就是三角形 ACD（此时 D 与 A 几乎重合）中的普通乘积关系。这说明托勒密定理在退化情形下依然自洽——它本质上描述的是圆上四点之间的距离关系。