问题引入
这是一个「把折线路径拉直」的最短路径模型。与将军饮马不同的是，这里折线的两个端点是 B 和 D，动点 M 被限制在中间线段 EF 上。
已知三角形 ABC，D 为 BC 的中点，E、F 分别在 AB、AC 上，M 在 EF 上移动。三角形 BDM 的周长什么时候最小？
动态观察
拖动 A、B、C 改变三角形形状，拖动 E、F、M 改变折线路径，观察三角形 BDM 的周长什么时候最小。
- 拖动 A、B、C，改变三角形 ABC 的形状。
- 拖动 E、F，它们始终分别落在 AB 和 AC 上。
- 拖动 M，它始终在 EF 上移动。
- 观察绿色点 M₀，它是周长最小时的位置。
规律发现
无论怎么拖动 M，只要它不在绿色点 M₀ 处，BM + MD 就比绿色显示的最短值大； 把 M 拖到 M₀，当前差值为 0。
把 B 关于直线 EF 作镜像得到 B′ 之后，为什么可以把 BM + MD 改写成 B′M + MD？
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B 与 B′ 关于直线 EF 对称，而 M 就在对称轴 EF 上，所以 BM = B′M。 于是 BM + MD = B′M + MD，折线路径被「搬」成了从 B′ 到 D 的路径。
原理解释
先把 B 关于直线 EF 作镜像，得到点 B′。因为 M 在 EF 上，所以 BM = B′M。
当 B′、M、D 三点共线时，折线路径达到最短。也就是说，DB′ 与 EF 的交点就是最优点 M₀。
例题应用
解这类问题的过程固定为「先作镜像，再把折线拉直」：
- 先确定 D 是 BC 的中点。
- 把 B 关于直线 EF 作对称点 B′。
- 因为 M 在 EF 上，所以 BM = B′M。
- 于是 BM + MD = B′M + MD ≥ B′D。
- 当 B′、M、D 三点共线时取等号，M 就是最优点 M₀。
但交点不一定落在可取的范围里，所以还要看边界：
- 交点在 EF 上： DB′ 与 EF 相交，交点就是最短点 M₀。
- 交点在 EF 外： 最短点退到 E 或 F 中更近的那个点。
- 结论： 先作镜像，再看交点是否落在可取线段上。
互动练习
当 DB′ 与 EF 的交点落在 EF 外时，最优点 M₀ 退到哪里？
查看答案
M 只能在 EF 上取值。交点在 EF 外时，B′M + MD 在 EF 上是单调的， 最小值只能在端点取到，所以最优点退到 E 或 F 中更近的那个点。
当 B′、M、D 三点共线时，BM + MD 正好等于哪条线段的长度？
查看答案
因为 BM = B′M，所以 BM + MD = B′M + MD；当 B′、M、D 三点共线时， 折线 B′M + MD 正好拉直成线段 B′D，此时 BM + MD = B′D。