多普勒效应：运动的声源让声音变调

问题引入

救护车鸣着警笛从远处朝你开过来时，你会觉得笛声越来越尖；等它从你身边开过去、渐渐走远，笛声又变得越来越低沉。警笛本身没变，为什么你听到的音调会变？

音调的高低由声音的频率决定——每秒到达耳朵的振动次数。这里变化的不只是"远近"产生的音量，而是每个时刻真正到达耳朵的振动频率。这就是多普勒效应：声源与观察者有相对运动时，观察者听到的频率会偏离声源本身的频率。

动态观察

画板里蓝色小圆是正在运动的声源，玫红小圆是静止的观察者。声源每 T₀ 秒发出一重波前：一个以发出瞬间声源位置为圆心、半径不断扩大的圆环（波面），它沿传播方向的前沿是同步前进的实心小圆点——圆环半径始终等于这个小圆点走过的路程。小圆点一经出发就以空气中的声速 v 匀速前进，和声源动不动没有关系。

1. 保持「整体」演示，播放动画：观察声源不断放出一重一重的圆环波面飞向观察者，相邻两个波前（圆环前沿的小圆点）之间的间隔是否均匀？
2. 把右侧的 v₂（声源速度）拖大，再看相邻波前之间的间隔：是变密还是变稀？观察者头顶的「接收频率 f′（理论 / 测得）」怎么变？
3. 切到「精细」演示，点「下一步」逐步走完一个波长的推导：T₀、T₂、λ、f₂ 会依次亮出。
4. 把 v₂ 拖到 0 再对比：相邻波前的间隔与发射时完全一致，接收频率回到 f₀ —— 说明 v₂ ≠ 0 时变的就是间隔本身。

第二个画板关心另一种情形：声源固定不动，换成观察者走动。蓝色圆仍是固定声源，玫红小圆此时会以速度 v₁ 移动——朝声源走时他不等波面找上门，主动迎上去撞上更多波面；背对声源走（远离）时波面从身后追上来，他每秒撞上的反而变少。

1. 保持「整体」播放，观察这位"奔跑的观察者"迎向波面：他每秒撞上的波面变多还是变少？右上角 f′(理论 / 测得) 与 f₀ 比一比。
2. 把 v₁ 拖到 0：观察者停下后，接收频率回落回 f₀——说明变的是"他每秒跨过多少波面"。
3. 切到「精细」演示（靠近）：声源继续按固定周期发波，观察者从最右端迎向前。撞上小人1 的时刻留「虚影1」、此刻小人2 的位置留「小人2-1」虚影；再迎向小人2，撞上时留「虚影2」，两次撞波的时间间隔是 T₁。
4. 看三段的距离关系：小人2-1 → 虚影1 = v×T₀ = 小人2-1 → 虚影2（v×T₁）+ 虚影1 → 虚影2（v₁×T₁）。
5. 把方向换成「远离声源」：整体里观察者改从近声源处出发向右跑，波面从身后追上来（f′ 掉到 f₀ 以下）。再看「精细」——小人1 追上他时留「虚影1」；再过 T₀ 小人2 走到虚影1，而观察者已经跑掉 v₁×T₀ 到了「虚影2」；小人2 继续追，追上他时停下。两次收波的总间隔 T₁ 满足 v×T₁ = v×T₀ + v₁×T₁。

规律发现

对比上面两种情形，规律写在下面的公式里（本画板里 v₂ 是声源速度，v 是空气中的声速）：

声源朝观察者运动时，相当于把身后的一重重波前一个个"往前挤"：相邻波前挨得更近、波长变短，于是每秒到达耳边的波前数变多 → 频率升高、音调变尖；声源远离时反过来"往后拖"，波长变长、频率降低、音调低沉。v₂ 越大，这种变化越明显。观察者这边的规律对称：他朝声源走，等于把迎面而来的波一个个"提前撞上"，每秒撞上的波面也变多（f′ > f₀）；他背对声源走，撞得就慢（f′ < f₀）。

原理解释

把推导一步步讲清楚，正好对应精细模式里逐步亮出的 T₂、λ、f₂。

1. 一重圆环就是一个波前。 声源每 T₀ 秒发出一重波前，所以声源处的频率 f₀ = 1/T₀。每一重波前一经发出，就把自身半径以声速 v 扩大，波前前沿（小圆点）也以 v 匀速飞行。
2. 声源不动时：相邻两重波前的间距 λ₀ = v × T₀，观察者每秒正好收到 f₀ 重波前。
3. 声源以 v₂ 朝观察者运动时：相隔一个 T₀ 再发出下一重波前，这期间声源自己向前挪了 v₂ × T₀。下一重波前发出时的位置比上一重离观察者更近，于是间距被压缩：

4. 观察者以声速 v 迎着每重波面：相邻两重波前到达观察者的时间间隔是 T₂ = λ / v。代入第 3 步的 λ：

5. 于是观察者每秒收到的波前数（接收频率）是：

因为 v₂ > 0 时 v / (v − v₂) > 1，所以 f′ > f₀，音调变高。这就是精细模式最后亮出的公式。

6. 声源远离时，把分母换成 v + v₂ 即可。把声源、观察者都考虑进来，完整公式是：

分子里的 v₁ 是观察者速度（迎向声源取 +，远离取 −），分母里的 v₂ 是声源速度（靠近观察者取 −，远离取 +）。当声源静止（v₂ = 0）时，上式退化成观察者运动那份。

观察者自己运动的情形由本单元第二个画板演示。声源按固定周期 T₀ 持续发波，与观察者动不动无关；观察者从最右端迎向前。他撞上第一波（小人1）的时刻原地留一个「虚影1」，此刻第二波的位置标成「小人2-1」虚影；接着他迎向第二波（小人2），撞上时再留「虚影2」。两次撞波的时间间隔叫 T₁：

看画布上三段标线：小人2-1 → 虚影1（v×T₀）正好等于 小人2-1 → 虚影2（v×T₁，第二波自己飞的路）加 虚影1 → 虚影2（v₁×T₁，观察者迎上去扫过的路）。

反过来的情形（观察者远离声源）在画板里也能走一遍。观察者跑不过声速，第一波照样追上他，追上处留「虚影1」；从这一刻起再过 T₀，第二波才走到虚影1 的位置，而观察者已经又多跑了 v₁×T₀、到了「虚影2」——两个虚影的间隔正是 v₁×T₀。第二波接着追，还要再花 T₁ − T₀ 才追上他，两次收波的总间隔就是 T₁：

对照画布上的青、玫红标线：小人2 追及路 v×(T₁ − T₀) = 虚影1 → 虚影2（v₁×T₀，观察者在这一个发波周期里跑掉的那段）+ 虚影2 → 观察者（v₁×(T₁ − T₀)，追及期间又跑掉的那段）。两次收波的时间间隔比 T₀ 更长（人"逃"了一段），所以每秒收到的波更少、频率被压低——与"迎上去"恰好相反。

例题应用

空气中声速 v = 340 m/s，警车汽笛频率 f₀ = 680 Hz，警车鸣着笛以 v₂ = 34 m/s 朝你驶来（你站着不动）。

1. 声源靠近观察者，分母取减号：f′ = 340 / (340 − 34) × 680。
2. 340 − 34 = 306，340 / 306 = 10 / 9。
3. f′ = 10 / 9 × 680 ≈ 755.6 Hz，比 680 Hz 高——警笛听起来更尖。

互动练习