角平分线专题

角平分线的两条主线

角平分线的题目基本围绕两件事：「角相等」和「到两边距离相等」。 把这两件事互相翻译的工具就是垂线——从角平分线上的点向两边作垂线， 得到两个直角三角形，用「一对锐角相等 + 公共斜边」证明全等，从而把角的条件换成边的条件。

拖动下面每个模型的图形，都能看到公式在实时数值上成立。

角平分线性质与逆定理

已知：OP 平分 ∠AOB，点 P 在 OP 上，PD ⟂ OA，PE ⟂ OB。求证：PD = PE。

1. 拖动 O、A、B，改变角 ∠AOB 的位置和大小。
2. 绿色射线 OP 是内角平分线，会随角的两边自动变化。
3. 拖动 P，观察它到两边的垂直距离 PD、PE。
4. 点 D、E 分别是 P 到 OA、OB 的垂足。

1. 因为 OP 平分 ∠AOB，所以 ∠AOP = ∠POB。
2. 因为 PD ⟂ OA，PE ⟂ OB，所以 ∠PDO = ∠PEO = 90°。
3. 两个直角三角形 △PDO 与 △PEO 共有斜边 PO。
4. 由一锐角相等和斜边公共，可得 △PDO ≌ △PEO。
5. 所以对应边 PD = PE。

两条内角平分线交点的角度

已知：三角形 ABC 中，BC 保持水平。BP 平分 ∠B，CP 平分 ∠C，两条角平分线交于 P。 结论：∠BPC = 90° + ½∠A。

1. 拖动 A、B、C，改变三角形形状。
2. BC 会始终保持水平，方便观察底边构型。
3. BP、CP 分别是 ∠B、∠C 的内角平分线，交于点 P。
4. 比较 ∠BPC 与 90° + 1/2∠A 的实时数值。

1. 因为 BP 平分 ∠B，所以 ∠PBC = ½∠B。
2. 因为 CP 平分 ∠C，所以 ∠PCB = ½∠C。
3. 在 △BPC 中，∠BPC = 180° − ½∠B − ½∠C。
4. 又因为 △ABC 中 ∠A + ∠B + ∠C = 180°。
5. 所以 ∠BPC = 180° − ½(∠B + ∠C) = 90° + ½∠A。

两条外角平分线交点的角度

已知：三角形 ABC 中，BC 保持水平且整体上移显示。延长 AB、AC，BP 平分 ∠B 的外角， CP 平分 ∠C 的外角，两条外角平分线交于 P。结论：∠BPC = 90° − ½∠A。

1. 拖动 A、B、C，改变三角形形状。
2. BC 会始终保持水平，并放在画板上方，方便看到下方的交点 P。
3. 灰色虚线表示 AB、AC 的延长线。
4. BP、CP 分别是 ∠B、∠C 的外角平分线，交于点 P。
5. 比较 ∠BPC 与 90° − 1/2∠A 的实时数值。

1. 因为 BP 平分 ∠B 的外角，所以 ∠PBC = 90° − ½∠B。
2. 因为 CP 平分 ∠C 的外角，所以 ∠PCB = 90° − ½∠C。
3. 在 △BPC 中，∠BPC = 180° − ∠PBC − ∠PCB。
4. 所以 ∠BPC = ½(∠B + ∠C)。
5. 又因为 ∠B + ∠C = 180° − ∠A，所以 ∠BPC = 90° − ½∠A。

用 MN 标记两个外角

已知：三角形 ABC 中，BC 保持水平且整体上移。延长 AB、AC，BP 平分 ∠B 的外角， CP 平分 ∠C 的外角，交于 P。取 AB 上点 M、AC 上点 N，连接 MN，记 ∠BMN 为角 1、 ∠CNM 为角 2。结论：∠BPC = 180° − (∠BMN + ∠CNM) / 2。

1. 拖动 A、B、C，改变三角形形状。
2. BC 会始终保持水平，图形整体初始上移。
3. 拖动 M、N，它们会分别保持在线段 AB、AC 上，连接得到辅助线 MN。
4. 角 1 是 ∠BMN，角 2 是 ∠CNM。
5. 比较 ∠BPC 与 180° − (角1 + 角2)/2 的实时数值。

1. 角 1 是 ∠BMN，角 2 是 ∠CNM。
2. 当 M、N 分别取在 AB、AC 的相同比例位置时，MN ∥ BC。
3. 所以角 1、角 2 分别对应 B、C 两侧的外角。
4. BP、CP 平分这两个外角，因此在 △BPC 中扣掉的是它们的一半。
5. 得到 ∠BPC = 180° − (角1 + 角2) / 2。

一条内角平分线与一条外角平分线

已知：三角形 ABC 中，BC 保持水平。延长 BC 到 M，先取 BP₁ 平分 ∠ABC、CP₁ 平分 ∠ACM， 交于 P₁；再取 BP₂ 平分 ∠P₁BC、CP₂ 平分 ∠P₁CM，交于 P₂。依次作到 P₄。 结论：∠P₁ = ½∠A，且 ∠Pn = ½ⁿ∠A。

1. 拖动 A、B、C，改变三角形形状。
2. BC 会始终保持水平，M 是 BC 向 C 方向的延长点。
3. BP₁ 是 ∠B 的内角平分线，CP₁ 是外角 ∠ACM 的角平分线。
4. P₂、P₃、P₄ 依次由前一个点与 B、C、M 构成的新角平分线交出。
5. 比较 ∠A、∠P₁、∠P₂、∠P₃、∠P₄ 的实时数值。

1. 第一步中，BP₁ 平分 ∠B，CP₁ 平分外角 ∠ACM，得到 ∠P₁ = ½∠A。
2. 第二步把 P₁ 看成新的「顶角点」：BP₂ 平分 ∠P₁BC，CP₂ 平分 ∠P₁CM。
3. 同样的「一内一外」结构再次出现，所以 ∠P₂ = ½∠P₁。
4. 依次类推：∠P₃ = ½∠P₂，∠P₄ = ½∠P₃。
5. 因此 ∠P₁ = ½∠A，∠P₂ = ½²∠A，∠P₃ = ½³∠A，∠P₄ = ½⁴∠A。

口诀小结

1. 性质：角平分线上的点到两边距离相等；逆定理也成立（距离相等 ⇒ 在角平分线上）。
2. 常用辅助线：从角平分线上的点向两边作垂线 → 两个全等直角三角形。
3. 两内角平分线交点：夹角 = 90° + ½∠A（交点即内心）。
4. 两外角平分线交点：夹角 = 90° − ½∠A（交点即旁心）。
5. 一内一外：∠P₁ = ½∠A，继续做同样结构则依次减半（½ⁿ∠A）。