连公共边法

为什么要构造全等

证明两条线段相等，常见思路是让它们分别落在两个全等三角形里。但题目往往不会把全等条件直接摆好： 要么缺一条边，要么两个三角形根本不挨着。这时就需要主动添加辅助线去「制造」全等。

本单元用七个例题串起五种常用手法：连公共边、延长构造、截长补短（内角 / 外角）、 倍长中线、翻折。每个例题都可以拖动图形观察——拖动时题设条件始终保持成立。

交叉线段中的公共边

已知：线段 AC 与 BD 相交，AC = BD，∠ACB = ∠BDA。求证：AD = BC。

1. 拖动 A、B，改变公共边的位置和长度。
2. 拖动 C，点 D 会同步移动，保持 AC = BD、∠C = ∠D。
3. 拖动 D，点 C 会反向同步，条件同样保持不变。
4. 虚线 AB 是辅助线，也是两个三角形的公共边。

1. 观察目标 AD = BC，它们分别属于 △BAD 与 △ABC。
2. 为把两个三角形联系起来，连接辅助线 AB。
3. 在 △ABC 和 △BAD 中，已有 AC = BD、∠ACB = ∠BDA，又有公共边 AB = BA。
4. 于是两个三角形对应全等，得到对应边 BC = AD。

延长一边，连续构造两组全等

已知：锐角三角形 ABC 中，AB 为水平底边，A 在左、B 在右，CE ⟂ AB。点 D 在 A 的左上方， 连接 AD，且 ∠DAC = ∠CAB，∠CDA + ∠B = 180°。求证：AE = AD + BE。

1. 拖动 A、B、C，改变锐角三角形 ABC 的形状。
2. E 是 C 到 AB 的垂足，始终满足 CE ⟂ AB。
3. D、F 由条件自动确定，不可拖动。
4. 辅助线 CF、DF 用虚线表示，且 CF ⟂ AF。

1. 延长 AD 到 F，连接 CF，并让 CF ⟂ AF。
2. 因为 ∠DAC = ∠CAB，且 ∠F = ∠AEC = 90°，AC 又是公共边，所以 △AFC ≌ △AEC，得到 AF = AE、CF = CE。
3. 因为 ∠ADC + ∠B = 180°，又 ∠ADC + ∠CDF = 180°，所以 ∠B = ∠CDF。
4. 再由 ∠F = ∠CEB = 90°，以及 CF = CE，得到 △CDF ≌ △CEB。
5. 于是 DF = BE。接下来要看 D、F 在射线 AD 上的先后位置。
6. 当 ∠CAB < ∠B 时，D 在线段 AF 上，AF = AD + DF，所以 AE = AD + BE。
7. 当 ∠CAB > ∠B 时，F 在线段 AD 上，AD = AF + DF，所以 AE = AD - BE，也就是 AE + BE = AD。

截长补短内角

已知：三角形 ABC 中，BC 为水平底边，AD 平分 ∠A，且 ∠C = 2∠B。 在 AB 上截取 AE = AC，连接 DE。求证：AB = AC + CD。

1. 拖动 A、B、C，改变三角形 ABC 的形状。
2. B、C 始终在水平底边上，拖动时会保持 ∠C = 2∠B。
3. D 是角平分线 AD 与 BC 的交点，不可拖动。
4. E 在 AB 上，始终满足 AE = AC，不可拖动。

1. 由角平分线 AD 可知 ∠BAD = ∠CAD。
2. 又因为 AE = AC，且 AD 是公共边，所以 △AED ≌ △ACD。
3. 于是 CD = ED，并且 ∠AED = ∠C。
4. 因为 ∠AED 是 △BED 的外角，所以 ∠AED = ∠B + ∠EDB。
5. 又因为 ∠C = 2∠B，且 ∠AED = ∠C，所以 ∠B = ∠EDB。
6. 因此 △BED 是等腰三角形，BE = ED。
7. 结合 ED = CD、AE = AC，可得 AB = AE + BE = AC + CD。

截长补短外角

已知：钝角三角形 ABC 中，BC 为水平底边，B 在左、C 在右，且 ∠ACB = 2∠B。 AD 是 ∠A 的外角平分线，与 BC 的延长线交于 D。求证：CD = AB + AC。

1. 拖动 A、B、C，改变钝角三角形 ABC。
2. B、C 始终在水平底边上，且保持 B 在左、C 在右。
3. 拖动时会保持 ∠ACB = 2∠B，并保持 ∠A 为钝角。
4. D、G 自动构造，不可拖动；虚线 AG、DG 是辅助线。

1. 在 BA 的延长线上取点 G，使 AG = AC，连接 DG。
2. 因为 AD 平分外角 ∠CAG，所以 ∠CAD = ∠DAG。
3. 又有 AG = AC，且 AD 是公共边，所以 △ACD ≌ △AGD。
4. 因此 GD = CD，且 ∠ADG = ∠ADC。
5. 由外角关系 ∠CAG = ∠B + ∠ACB，且 ∠ACB = 2∠B，得 ∠CAG = 3∠B。
6. 因为 AD 平分 ∠CAG，所以 ∠DAG = 3/2∠B；又由 ∠DAG = ∠B + ∠ADC，得 ∠ADC = 1/2∠B。
7. 结合 ∠ADG = ∠ADC，可得 ∠GDC = ∠B，所以 △BGD 是等腰三角形，GD = GB。
8. 由于 GB = AB + AG，且 AG = AC，所以 CD = GD = GB = AB + AC。

倍长中线基础

已知：三角形 ABC 中，AC 为水平底边，A 在左、C 在右。BD 是中线，D 是 AC 的中点。 延长 BD 到 E，使 BD = DE，连接 CE。求证：BD > |AB − BC| / 2，且 BD < (AB + BC) / 2。

1. 拖动 A、B、C，改变三角形 ABC。
2. A、C 始终在水平底边上，且保持 A 在左、C 在右。
3. D 始终是 AC 的中点，不可拖动。
4. E 在 BD 的延长线上，且 BD = DE，不可拖动。

1. 因为 D 是 AC 中点，所以 AD = DC。
2. 延长 BD 到 E，且 BD = DE。
3. 此时 D 也是 BE 的中点，所以 AC 与 BE 互相平分。
4. 因此四边形 ABCE 是平行四边形，得到 CE = AB。
5. 在三角形 BCE 中，由三角形三边关系得：|BC − CE| < BE < BC + CE。
6. 代入 CE = AB、BE = 2BD，得到 |BC − AB| < 2BD < BC + AB。
7. 两边同除以 2，即 BD > |AB − BC| / 2，且 BD < (AB + BC) / 2。

倍长中线四边形

已知：三角形 ABC 中，AC 为水平底边，A 在左、C 在右。将线段 AB 绕 B 顺时针旋转 90° 得到 BM， 连接 AM；将线段 CB 绕 B 逆时针旋转 90° 得到 BN，连接 CN、MN。D 为 MN 中点，连接 BD。 求证：AC = 2BD。

1. 拖动 A、B、C，改变三角形 ABC。
2. A、C 始终在水平底边上，且保持 A 在左、C 在右。
3. M 由 AB 绕 B 顺时针旋转 90° 得到，N 由 CB 绕 B 逆时针旋转 90° 得到。
4. D 是 MN 中点；H 在 BD 延长线上，且 DH = BD。其余点不可拖动。

1. 延长 BD 到 H，使 BD = DH，连接 NH。
2. 因为 D 是 MN 中点，所以 DM = DN；又 BD = DH，且 ∠BDM = ∠NDH 是对顶角。
3. 所以 △BDM ≌ △NDH，得到 HN = BM，且 ∠H = ∠DBM。
4. 由旋转可知 BM = AB，BN = BC，且 ∠ABM = ∠CBN = 90°。
5. 因为 ∠ABM + ∠CBN = 180°，所以 ∠ABC + ∠MBN = 180°，即 ∠ABC + ∠MBD + ∠HBN = 180°。
6. 又 ∠H + ∠HBN + ∠HNB = 180°，并且 ∠H = ∠DBM，所以 ∠ABC = ∠HNB。
7. 此时 HN = BM = AB，BN = BC，所以 △BHN ≌ △ABC。
8. 于是 AC = BH。又 BH = BD + DH = 2BD，所以 AC = 2BD。

倍长中线四边形翻折

已知：四边形 ABCD 中，BC 为水平底边。连接 AC、BD 交于 E，三角形 ABD 沿 AB 翻折， 点 D 对应点 H。已知 ∠BAC + ∠BAD = 180°，F 是 BC 中点，且 ∠CEF = ∠ADB。求证：BD = 2EF。

1. 拖动 H、B、C，先形成锐角三角形 HBC。
2. B、C 始终在水平底边上，整体构图靠近底部。
3. E 在 HC 上，约满足 HE : EC = 3 : 4；A 是 ∠HBE 的角平分线与 HC 的交点。
4. D 在 BE 延长线上且 BD = BH；F 是 BC 中点；M 在 EF 延长线上且 EF = FM。其余点不可拖动。

1. 延长 EF 到 M，使 EF = FM，连接 BM。
2. 因为 F 是 BC 中点，所以 BF = FC；又有 EF = FM，且 ∠MFB = ∠EFC，所以 △MFB ≌ △EFC。
3. 因此 BM = CE，∠M = ∠FEC。
4. 由 ∠CEF = ∠ADB，可得 ∠M = ∠ADB。
5. 由翻折可知 BH = BD，∠H = ∠ADB，∠BAH = ∠BAD。
6. 所以 ∠M = ∠H。又因为 ∠BAC + ∠BAD = 180°，所以 H、A、C 共线。
7. 于是 ∠HEB = ∠MBE。再结合 ∠M = ∠H、BE = EB，得到 △BME ≌ △BEH。
8. 因此 EM = BH。又 BH = BD，且 EM = EF + FM = 2EF，所以 BD = 2EF。

方法小结

1. 连公共边：两个三角形只差一条对应边时，连接公共端点。
2. 延长构造：把目标线段延长，连续构造两组全等，注意最终的位置关系要分情况讨论。
3. 截长补短：在长边上截出与短边相等的线段（内角型），或在延长线上补出（外角型），把线段和差转化为对应边。
4. 倍长中线：利用中心对称得到平行四边形或全等三角形，把中线问题转化为三边关系。
5. 翻折：轴对称不改变长度与角度，可用来搬运角和边，常与「三点共线」配合使用。