拿破仑定理：向外作等边三角形的中心构成等边三角形

问题引入

取一个随便画的三角形，在每条边上向外"贴"一个等边三角形，再取这三个等边三角形的中心（重心）。

连起来你会发现：这三个中心构成一个等边三角形——不管原来的三角形多么歪斜。这就是拿破仑定理。

动态观察

拖动原三角形的顶点 A、B、C，观察三个中心连成的三角形。

1. 拖动 A、B、C，把原三角形拉成各种形状（锐角、钝角、很扁都试试）。
2. 盯住侧栏的三条边长读数，看它们是否始终相等。
3. 注意三个等边三角形都在原三角形的外侧。

规律发现

设以 △ABC 的三边分别向外作等边三角形，它们的中心为 P、Q、R，则：

原理解释

证明的关键是旋转 60° 与手拉手模型：

• 等边三角形的中心到三个顶点的距离相等、张角都是 120°，所以它同时也是外心与重心；
• 连接两个中心（比如 P 与 Q）时，可以把其中一个等边三角形绕公共顶点旋转 60°，制造出一对共顶点旋转的全等三角形（正是「手拉手模型」）；
• 由旋转全等得到两条线段相等与夹角为 60°，从而证明 △PQR 的三条边相等。

拿破仑定理是"手拉手模型"最经典的应用之一：先旋转、再配对全等，这类思路在竞赛题中反复出现。

例题应用

拿破仑定理在竞赛中主要作为证明题出现，也常被用来构造 60° 角。

1. 见到"以各边向外作等边三角形"或"作正三角形"，优先想到拿破仑定理与手拉手模型。
2. 需要证明线段相等时，找公共顶点与旋转中心，构造旋转全等。
3. 需要 60° 角时，等边三角形的中心与顶点连线自带 30°、120° 等特殊角。
4. 若原三角形退化（三点共线），结论仍然成立，可作为边界情形检验。